Enunciado

Determine a derivada da função vetorial.

r t = a t cos ⁡ 3 t   i + b sin 3 ⁡ t   j + c cos 3 ⁡ t   k

Passo 1

Fala galera, tudo tranquilo?

Vamos entender como resolver esta questão? Se liga!

Para resolver a questão da derivada da função vetorial r ( t ) , teremos que aplicar a regra do produto para derivar cada componente i , j e k em relação a t , utilizando as propriedades das funções trigonométricas.

Agora que sabe como começar, mão a obra!

Passo 2

Em uma equação paramétrica do tipo:

r t = x t i + y t j + z t k

A derivada dessa função vetorial r ' ( t ) é:

r ' t = d r d t = x ' t i + y ' t j + z ' t k

Passo 3

Queremos calcular a derivada da seguinte função vetorial:

r t = a   t c o s 3 t i + b s e n 3 t j + c   c o s 3 t   k

Relembrando a regra da cadeia:

d d x f g x = f ' g x g ' ( x )

E a regra do produto:

d d x f x g x = f x g ' x + f ' x g ( x )

Passo 4

Para a componente i :

d t d ​ ( a t c o s ³ t ) i

Utilize a regra do produto e a derivada da função trigonométrica:

d d t atcos 3 ⁡ t = acos 3 ⁡ t - 3 a t c o s ² t - sen ⁡ t

Assim,

d d t ( a t c o s ³ t ) i = ( a c o s ³ t - 3 a t c o s ² t s e n t ) i

Passo 5

Para a componente 𝑗:

d d t bsin ³ ⁡ t j

Aplicando a regra do produto e a derivada da função trigonométrica:

d d t b s i n 3 t = 3 b   s e n 2 t   c o s t

Assim,

d d t ( b s i n ⁡ 3 t ) j = ( 3 b s e n ² t c o s t ) j

Passo 6

Para a componente k :

d d t ccos ⁡ 3 t k

Utilizando a regra do produto e a derivada da função trigonométrica:

d d t ccos ³ ⁡ t = - 3 c c o s 2 t   s e n   t

Assim,

d d t ( c c o s ³ t ) k = ( - 3 c c o s ² t s e n ⁡ t ) k

Passo 7

r ' t = d a   t c o s 3 t d t i + d b s e n 3 t d t j + d c   c o s 3 t d t k

( a c o s ³ t - 3 a t c o s ² t s e n t ) i + ( 3 b s e n ² t c o s t ) j + ( - 3 c c o s ² t s e n ⁡ t ) k

Resposta

( a c o s ³ t - 3 a t c o s ² t s e n t ) i + ( 3 b s e n ² t c o s t ) j + ( - 3 c c o s ² t s e n ⁡ t ) k

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