Caso Vetorial no R²
Teoria
Introdução
Antes de tudo, vamos explicar a motivação de definir esse tipo de integral. Lembra quando você aprendeu a determinar o trabalho de uma força? Calculamos da seguinte forma , sendo a componente da força na direção do deslocamento retilíneo . Tudo muito legal, muito bonito.
Agora digamos que não seja constante em todos os pontos, que seja dada por uma função .
Primeiro, é importante entendermos essa função , como ela é? Onde ela vive? Não será no globo repórter, rs.
Se olharmos para como uma força, ela vai ter duas componentes, por exemplo
Quando tivermos uma função desse tipo, onde ela tem componentes, vamos chamar de campo vetorial, isso é bem básico e é tudo que precisamos saber. =D
Agora que entendemos bem a ideia da força, vamos olhar para o trabalho. Se ele andar por uma curva muito louca? Como achamos o trabalho? Aquela fórmula não vai funcionar.
Aí a coisa ficou séria né? Como faremos para calcular esse trabalho?
Vamos supor uma curva parametrizada por , que dividiremos em subarcos. Bom, quando esses subarcos são pequenos, a direção do deslocamento é aproximadamente o vetor tangente à curva, certo? O vetor unitário tangente à curva é dado por:
O vetor deslocamento é dado, então, pelo comprimento desse subarco multiplicado pelo vetor unitário tangente à curva, o que nos dá:
Então, o trabalho realizado por nesse subarco será dado por:
Somando o trabalho em cada um desses subarcos, temos que o trabalho sobre a curva toda será dado por:
Certo? Se tomarmos o limite dessa expressão quando tende ao infinito, teremos a seguinte integral:
Na real, essa não é a fórmula final que você vai usar. Tem uma mais simples, vamos ver como é na prática?
Definição
Para substituirmos esse que está aí na fórmula, vou me aproveitar de uns conceitos de física aqui e lembrar que o módulo da velocidade pode ser dado por:
E então:
Mas a velocidade pode ser interpretada como o vetor tangente a curva, e então, no final:
Assim, aquela fórmula que tinhamos lá em cima vai ficar:
Perceba que escrevemos o campo vetorial em função do parâmetro . Veja também que temos o produto escalar entre dois vetores, o que nos dará um número.
Essa é a integral de linha de um campo vetorial ao longo de curva parametrizada por .
A integral de linha não se limita apenas para o cálculo do trabalho de uma força.
Podemos usar a integral de linha para o cálculo do escoamento de um fluido. As contas são exatamente as mesmas, só o nome que muda, então não se preocupe, ok?
Se ele pedir a circulação, não desespera, a circulação nada mais é que o escoamento de um fluido em uma curva fechada. A conta é a mesma de antes.
Notação
A integral de linha em um campo vetorial pode ser escrita dessa forma:
Ou também assim:
Onde . Essa representação que separa as componentes do vetor também é muito usada, mas no final dá tudo no mesmo, não se preocupe.
Para curvas fechadas, isto é, curvas que tem ponto final igual ao ponto inicial, temos também a notação:
Com essa bolinha no meio. Também não faz diferença prática nenhuma, é só uma forma de indicar bem explícitamente que a curva é fechada.
Orientação
Uma coisa que você tem que ficar bem atento quando for fazer uma integral de linha vetorial é que, na hora de parametrizar a curva, vamos ver que ela tem uma “direção”.
Por exemplo, a princípio a gente podia achar que as curvas:
São iguais, já que as duas são retas que ligam os pontos e .
Mas é muito importante saber identificar a diferença, já que tem ponto inicial e ponto final , enquanto é ao contrário, tem início em e final em .
A essa “direção” que a curva tem chamamos de orientação da curva.
Ou seja, uma mesma reta ou curva qualquer pode ter dois sentidos diferentes, de forma que:
Por esse motivo, eu gosto muito da notação , com esse sinalzinho negativo em cima, pra denotar que um é negativo da outra.
Para curvas fechadas, cujo ponto final e inicial são iguais, dizemos que quando a curva é percorrida no sentido anti-horário, ela tem orientação positiva, enquanto no sentido horário tem orientação negativa.
Vamos só fazer um exemplo pra você ver como é que fica o passo-a-passo.
Exemplo
Determine o trabalho feito pelo campo de força ao longo de uma curva parametrizada por , com .
Passo 1: Vamos montar a integral
Pelo próprio enunciado, já temos que e .
A parametrização da curva nos dá que e , pelo próprio enunciado.
Passo 2: Calcular
Derivando a parametrização, temos:
Passo 3: Substituir na integral e escrevê-la em função do parâmetro
Lembre-se de que a função vetorial deve ser reescrita obedecendo as definições da parametrização da curva: e ,
Peraí, você se lembra de como fazer produto escalar? É bem simples, basta multiplicar o 1ª termo do primeiro vetor com o 1º termo do segundo e o 2º termo do primeiro vetor com o 2º termo do segundo e somar esses valores, dessa forma:
Passo 4: Calcular a integral
Pronto, isso aí, nada demais, né? Vamos fazer uns exercícios pra ver se você pegou mesmo?
Definição
Notação
Orientação
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
CEFET - Cálculo Vetorial - Lista 1 Thomé – 8
Calcule a integral de linha , onde é o triângulo com vértices nos pontos , e .
Passo 1
A nossa função vai ser
Temos segmentos de reta, então vamos fazer
Onde é o lado que liga com ; é o lado que liga com ; é o lado que liga com , assim vamos rodar no sentido anti-horário.
Vamos começar com
Precisamos parametrizar esse segmento de reta. Para isso, vamos calcular a reta que liga os pontos, podemos perceber que ele só se move ao longo de , então a parametrização vai ser
Com indo de à , tendo
Passo 2
Agora calculamos :
Passo 3
Vamos, agora, utilizar a fórmula, substituindo o valor de e escrevendo em função de :
Passo 4
Vamos ver a segunda agora
Precisamos parametrizar esse segmento de reta. Para isso, vamos calcular a reta que liga os pontos, podemos perceber que ele só se move ao longo de , então a parametrização vai ser
Com indo de à , tendo
Passo 5
Agora calculamos :
Passo 6
Vamos, agora, utilizar a fórmula, substituindo o valor de e escrevendo em função de :
Passo 7
Vamos ver a terceira agora
Precisamos parametrizar esse segmento de reta. Para isso, vamos fazer uma malandragem, é mais fácil parametrizar essa reta indo de a do que o contrário.
Vamos fazer o caminho no sentido contrário e trocamos o sinal da parametrização
A reta vai ser
A parametrização vai ficar
Aqui vamos ter indo de até , então
Passo 8
Agora calculamos :
Passo 9
Vamos, agora, utilizar a fórmula, substituindo o valor de e escrevendo em função de :
Lembra que esse menos aparece porque a parametrização tem sentido contrário ao que ele pediu.
Passo 10
Agora que temos as três integrais é só substituir
Resposta
Exercício Resolvido #2
Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – volume 3, 5ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 2001, pp. 154-1.
Calcule
Onde é a curva:
Passo 1
Primeiramente, vemos que nossa integral está escrita na forma:
Então:
E nossa curva pode ser dividida em quatro partes de forma que . Então vamos começar dando nome aos bois:
Cada uma dessas curvas são retas. Então vamos ter algo do tipo:
As curvas são bem parecidas e tal, mas vamos calcular uma por uma pra ter certeza e não confundir nada.
Passo 2
Começando por , lembramos que a fórmula que vamos usar é:
Passo 3
A parametrização dela vai ser:
Passo 4
então é só calcular o vetor tangente:
Passo 5
E jogar na fórmula, pra fazermos o produto escalar:
É uma integral meio complicada, mas pra quem não lembra:
Passo 6
Agora repetimos o método para :
Vamos ver como fica o vetor tangente:
Bem parecido com o outro, mas olha como a integral fica diferente:
Essa é mais fácil, pelo menos:
Passo 7
E mais uma vez, aplicamos a fórmula pra :
E o vetor tangente:
Jogando na integral:
Opa, ja vi isso antes, né? Haha
Passo 8
E, por último, finalmente, :
O que vem agora, adivinha? Isso, vetor tangente:
E a integral:
Que, como já vimos:
Passo 9
Pra terminar, só somar tudo:
Achou estranho? Bem, mas é isso mesmo, pode confiar!
Resposta
Exercício Resolvido #3
PUC-RJ - Cálculo 3 - P2 2013.2 - 2b
Considere a integral de linha
Onde é a fronteira da região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências e , orientada no sentido anti-horário e é o campo vetorial definido por
Calcule Essa integral pela definição de integral de linha.
Passo 1
Temos que entender como é a região que ele falou. Repara que a região vai ser entre as circunferências de raio e , e limitada por e porque está no primeiro quadrante. Então a região fica assim
Como ele quer no sentido anti-horário vamos ter o seguinte sentido das 4 curvas
Para fazer a integral de linha vamos ter
Passo 2
Vamos começar com , vamos fazer a parametrização da circunferência de raio
Na verdade temos que pegar a integral com o sinal trocado né? Desse jeito ele está rodando no sentido contrário ao longo da circunferência.
Agora queremos a derivada
A integral vai ficar
Lembrando que
Passo 3
Vamos agora para , nela só p valor de vai variar, que vai de à , então a parametrização fica
Com
Vamos a derivada da parametrização
A integral vai ficar
Passo 4
Vamos para , vamos fazer a parametrização da circunferência de raio
Aqui ele está rodando no sentido certinho
Agora queremos a derivada
A integral vai ficar
Lembrando que
Passo 5
Vamos agora para , nela só o valor de vai variar, que vai de à , então a parametrização fica
Com
Na verdade temos que pegar a integral com o sinal trocado né? Desse jeito ele está rodando no sentido contrário ao longo da reta.
Vamos a derivada da parametrização
A integral vai ficar
Passo 6
Vamos ter
Então