Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 38
Determine o trabalho realizado pelo campo de força em uma partícula que se move sobre a parábola de a .
Passo 1
E aiiiii meus queridooooos, tudo bem? Vamos nessa!
Precisamos calcular o trabalho realizado pelo campo de força em uma partícula que se move sobre a parábola de a .
Vamos lembrar como o trabalho é escrito. O trabalho pode ser expresso como a integral em uma curva do produto escalar de uma força com uma distância :
Sabendo disso, nosso objetivo é achar uma parametrização para nossa curva :
de a
Quando temos uma expressão que esta escrita em função da outra, podemos adotar uma parametrização assumindo:
Logo, substituindo temos que:
Nossa parametrização fica:
Qual o intervalo de variação de ? É só você comparar a parametrização de , com os pontos a .
Aqui você conclui que e . Como , temos:
Por fim, você parametriza o campo , e monta a integral.
Vamos nessa!!!
Passo 2
Vamos começar achando uma parametrização para nossa curva.
Ele informou que a partícula percorre a curva:
de a
Para esse tipo de situação, uma alternativa simples de parametrização é assumir:
Assim temos que:
Nossa parametrização fica:
Ou pode ser escrito como:
Para encontrar os intervalos de , devemos comparar a parametrização em com os pontos:
a
Repare, que no primeiro ponto temos e no segundo . Como , concluímos que nosso intervalo é:
Passo 3
Agora, já temos as informações para montar nossa integral:
Para ter o campo parametrizado, é só substituir as parametrizações encontradas anteriormente em .
As parametrizações são:
Observe também que precisamos de . Para isso, basta derivarmos em relação a a função , assim:
Isolando , temos:
Escrevendo em função de , temos:
Passo 4
A partir disso, podemos calcular o trabalho:
Aplicando o produto escalar, temos:
Agora é só resolver a integral. Podemos separar em duas integrais, pois temos uma soma. Ficando assim:
Aqui, precisamos aplicar uma substituição do tipo:
Substituindo, temos:
Integrando e voltando para a variável , temos:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando, temos nossa resposta como: