Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.3 - Ex. 35
Seja
- Mostre que .
- Mostre que não é independente do caminho. [Sugestão: calcule e onde e são as metades superior e inferior do círculo de a .] Isso contraria o Teorema ?
Passo 1
Fala, pessoal! Tranquilo?
Nossa questão nos dá a função:
Na parte a) a questão quer que a gente mostre que:
Ou seja, que as derivadas parciais das componentes da nossa função são iguais. Aqui no nosso caso, temos:
Para a parte b) precisamos mostrar que a integral de linha:
não é independente do caminho. Para isso vamos seguir a sugestão do enunciado:
Sugestão: calcule e onde e são as metades superior e inferior do cículo de a
Para que a integral de linha independa do caminho, temos que ter a igualdade:
Então pela descrição da curva vamos parametrizar essa equação e resolver a integral.
Vamos lá!
Passo 2
- Calculando as derivadas parciais onde nossas funções são:
- Como para que a integral de linha independa do caminho, temos que
E:
Primeiro a derivada de em relação a , trtando como constante:
E agora de em relação a , tratando como constante:
Como as derivadas são iguais, temos que
Passo 3
Se pegarmos um circuito fechado e calcularmos a integral, sem obter zero, provamos que a integral depende do caminho.
Pegando a circunferência unitária como e parametrizando da forma:
Como nossa circunferência é unitária, nosso raio é 1, e teremos:
Temos que:
Passo 3
Calculando e :
- : é a nossa função inicial, mas fazemos a substituição usando as equações paramétricas que achamos:
- : é a derivada das nossas equações paramétricas:
Substituindo na nossa equação original:
Temos:
Derivando as funções acimas temos:
Substituindo na integral
Agora é só fazermos o produto escalar entre as componentes, somando a multiplicação das coordenadas entre si:
Com o integrando e os limites de integração, podemos de fato resolver a integral. Como:
Temos:
Como nosso resultado é diferente de zero, então a integral de linha de depende do caminho e não é conservativo.
Isso não vai contra o teorema 6, pois o domínio de não contém a origem e a circunferência centrada na origem não pode ser colocada em uma região simplesmente conexa que contenha , fazendo com que não possamos usar o teorema e de fato a função não é conservativa.
Como vemos na nossa função, o ponto torna nosso denominador zero, e como não podemos ter divisão por zero, esse ponto não faz parte do domínio da função.
Resposta
Demonstrações feitas!