Curvas Abertas

Essa integral de linha parece complicada de se calcular diretamente pela definição, não é? O campo vetorial envolve secantes, tangentes, termos não muito agradáveis de se trabalhar! Vamos tentar, então, aplicar o Teorema de Green e ver se encontramos algo mais simples.

A curva em que devemos integrar é uma semicircunferência, pois, elevando a equação ao quadrado, temos

Como deve ser maior que zero, queremos a parte de cima da circunferência de raio centrada em . Mas essa curva não é fechada, certo? Então vamos fechá-la na maneira mais simples: com um segmento de reta que liga seus pontos final e inicial.

A curva final será, portanto:

Veja que ela está orientada positivamente, não se esqueça disso!

Aplicando, então, o Teorema de Green, teremos, então:

Vamos agora calcular :

Aplicando o teorema de Green, temos:

Como se trata de uma semicircunferência de raio , temos:

Falta, agora, calcular a integral sobre o segmento , para isso, vamos parametrizá-lo. Como temos o ponto inicial e o final ligados pela reta , uma boa parametrização seria , onde temos ( é constante e varia).

Derivando essa expressão, temos

Montando a integral de linha sobre teremos:

Veja que escrevemos o campo em função da parametrização de .

Fazendo a diferença entre esses dois resultados, finalmente calculamos a integral sobre :

Vamos fazer um esboço da curva:

A parametrização desse arco envolveria senos e cossenos, que, quando substituídos na expressão do campo vetorial, tornariam a integral muito complicada. Vamos, então, aplicar o Teorema de Green aqui.

Perceba que a curva em que vamos integrar não é fechada, ela é composta apenas pelo arco de circunferência. O que faremos então? Vamos fechá-la, formando uma curva , onde é o segmento de reta horizontal e o vertical. Vamos orientar essa curva de positivamente.

Teremos, então:

Agora, vamos isolar o termo que queremos, :

Como os segmentos e são simples de parametrizar, vamos calculá-los pela definição mesmo.

O campo vetorial da questão pode ser escrito como

Vamos agora calcular :

Sendo a fronteira da nossa região , aplicando o teorema de Green, temos:

Calma, essa ainda não é a resposta, ainda precisamos calcular a integral em e em . Guarde esse resultado.

Vamos parametrizar os segmentos e .

Para : Este é um segmento horizontal em que e varia, portanto, podemos parametrizá-lo assim: , onde varia de a .

Para : Este é um segmento vertical em que e varia, portanto, podemos parametrizá-lo assim: , onde varia de a .

Agora precisamos derivar essas parametrizações:

Substituindo esses valores na fórmula que vimos capítulo passado:

Temos:

O que queremos é a integral em . Temos que:

Substituindo os resultados que encontramos:

Bom, já deu para ver que calcular essa integral aí pela definição deve dar muito trabalho, né? Vamos tentar aplicar Green então. Temos:

Bom, como é uma expressão relativamente simples, quer dizer que estamos no caminho certo.

Pelo Teorema de Green, considerando uma curva fechada orientada no sentido anti-horário e a região limitada por ela, temos:

Mas o problema pede a integral de linha na curva contida no semiplano . Ou seja, uma parábola com simetria em , que vai de a :

Logo, essa curva é aberta, precisamos fechar!

Então vamos fechá-la, com uma reta mesmo, que liga os pontos final e inicial, no mesmo sentido do arco:

Então, sendo a união a parábola com a o segmento de reta orientados positivamente, temos:

Onde é a região em cinza na figura acima. Então, para encontrar a integral que queremos, precisamos resolver a integral dupla e a integral de linha na reta.

Vamos começar pela integral dupla. Descrevendo a região como tipo II, temos entre e e desde até , como podemos ver na figura. Levando para a integral, temos:

Agora vamos resolver a integral de linha no segmento de reta. Vamos começar parametrizando o segmento.

Como o segmento pertence à reta , podemos usar essa parametrização aqui:

Onde vai de a (por causa da orientação de ).

Agora vamos derivar essa parametrização:

Escrevendo o campo

Nas variáveis da parametrização, temos:

Podemos, então, substituir os valores que encontramos na fórmula abaixo:

Integral dá trabalho, né? Aqui, você pode pensar no seguinte: como essa função é ímpar (), o seu gráfico é espelhado em relação ao eixo , ou seja, toda a área que temos de a é igual à que temos de a , porém, uma integral terá sinal contrário à outra. Isso quer dizer que a integral de a será igual a zero! Logo:

Agora vamos substituir os valores que encontramos para calcular o que o problema pediu:

Bom, já deu para ver que calcular essa integral aí pela definição deve dar muito trabalho, né? Vamos tentar aplicar Green então. Temos:

Bom, como é uma expressão relativamente simples, quer dizer que estamos no caminho certo.

Pelo Teorema de Green, considerando uma curva fechada orientada no sentido anti-horário, temos:

Mas o problema pede a integral de linha na curva (uma circunferência) com ponto inicial e ponto final . Logo, não temos uma volta completa na circunferência, essa curva é aberta.

Então vamos fechá-la, com uma reta mesmo, que liga os pontos final e inicial, no mesmo sentido do arco:

Então, sendo a união do arco com a o segmento de reta e estando sentido contrário (orientado negativamente), pelo Teorema de Green, temos:

Mas como:

E como queremos a integral de linha em , não :

Onde é a região em cinza na figura acima. Então, para encontrar a integral que queremos, precisamos resolver a integral dupla e a integral de linha na reta.

Vamos começar pela integral dupla. Já que temos um setor circular, vamos usar coordenadas polares:

Como vemos pela figura, (pois o raio da circunferência é ). O intervalo do ângulo , nós podemos ver por trigonometria: já que o ponto final é , sabemos que começa em . Pela figura, podemos ver que o ângulo final é , então, .

Fazendo a mudança polar então, temos:

Agora vamos resolver isso aí:

Para parametrizar a reta devemos primeiro notar que ela é escrita como

Fazendo , teremos a seguinte parametrização

Agora pela orientação temos que vai de até .

Escrevendo o campo

Nas variáveis da parametrização, temos:

Podemos, então, substituir os valores que encontramos na fórmula abaixo:

Agora vamos substituir os valores que encontramos para calcular o que o problema pediu:

Para escrever a curva na forma paramétrica teríamos que usar senos e cossenos, o que tornaria a integral muito complicada. Portanto, calcular essa integral pela definição não é uma boa. Vamos tentar usar o Teorema de Green aqui então.

O campo vetorial da questão pode ser escrito como

Vamos agora calcular :

Essa é uma expressão simples, quer dizer que estamos no caminho certo!

Beleza, vamos aplicar Green então, mas em que região? Vamos primeiro descobrir quem é essa curva do enunciado:

Completando esses quadrados, temos:

A equação é uma circunferência de raio centrada em , certo?

Como o problema diz que , temos isso aqui:

Mas para aplicar o Teorema de Geen, nós precisamos de uma curva fechada e orientada positivamente, não é? Vamos fechar isso aí com uma reta:

Como o enunciado já dizia que está orientada no sentido anti-horário, tá tudo ok então.

Agora podemos aplicar Green:

Onde é a reta do desenho e é a região entre o arco e a reta.

Como a região está compreendida entre um arco de circunferência e uma reta, a melhor saída aqui são as coordenadas polares. Faremos:

Esses termos que adicionamos na mudança polar estão aí porque a circunferência está deslocada da origem, lembra? Temos . Adicionando os termos , nós “levamos” o novo sistema de coordenadas para o centro da circunferência, que passa a ser escrita como .

Isso ocorre porque o da mudança polar faz desaparecer o da equação da circunferência, tornando sua equação .

Bom, sabemos então que . Como temos meia volta da circunferência, olhando para o gráfico e lembrando que o novo eixo de coordenadas está no seu centro, vemos que .

Agora, fazendo a mudança polar na integral, temos:

Agora precisamos parametrizar essa reta que criamos.

Temos um segmento que pertence à reta (para qualquer ), portanto, podemos parametrizá-lo assim:

Pela figura, vemos que .

Agora vamos substituir esses valores na fórmula:

Aplicando a parametrização na expressão do campo:

A integral fica: