Teorema de Green

Vamos esboçar a região para entender melhor o problema. Temos uma reta e uma parábola :

Para podermos aplicar o Teorema de Green, orientamos positivamente a curva.

Agora vamos calcular

Temos

Agora vamos montar a integral dupla, utilizando o Teorema de Green:

Onde é a região limitada pela curva , que vimos lá em cima.Vamos, então, descrever essa região para reescrever essa integral dupla em iterada. Temos que varia entre e a parábola e .

Nossa integral passa a ser então:

Começaremos integrando em relação a :

Agora em relação a :

Então, galerinha, aqui nós temos uma integral de linha para ser resolvida. Porém se fossemos parametrizar essa curva, teríamos que separar em 4 curvas e parametrizar individualmente. E isso iria gerar muito trabalho. Além disso, tem aquele termo que pode gerar coisas nem tão simples de integrar.

Por isso vamos resolver essa questão aplicando o teorema de Green, pois ele vai transformar essa integral de linha em uma integral dupla, mais simples de ser resolvida. O teorema nos diz:

Mas devemos lembrar que a curva deve ser orientada positivamente, que não é o que acontece no enunciado, já que temos no sentido horário. Assim, nosso teorema ficará:

Onde, pelo enunciando, temos que

Separando em termos de e , temos

Então agora, é achar essas derivadas parciais e resolver essa integral dupla. Lembrando que os limites de integração serão dados pela região .

A gente já sabe quem é e . Então agora vamos agora calcular :

Aplicando o teorema de Green, temos:

Agora temos que achar nossos limites de integração. Porém parece complicado descrever a região em termos de e . Deste modo, vamos fazer uma mudança de variáveis.

A região é definida pela interseção das seguintes regiões:

Repara que temos um padrão! Todas são parábolas que podemos representar dessa forma

Esse padrão nos sugere qual mudança de variável irá nos ajudar na resolução. Deste movo vamos chamar:

Agora temos que encontrar os intervalos de integração em e . Fazendo a substituição de variáveis das equações das parábolas temos:

Ou seja, e .

Galerinha, lembrando que sempre que fizermos uma mudança de variável, precisaremos calcular o Jacobiano!

Neste, é vamos achar o Jacobiano da transformação inversa para facilitar nosso cálculo e depois inverter o resultado. Ele é dado por:

Invertendo o resultado, temos

Substituindo os valores que encontramos na integral, temos:

Integrando em relação a :

Agora em relação a :

Vamos fazer um esboço da curva:

Como é o raio de uma circunferência, a região está limitada por uma circunferência de raio e outra de raio . Como temos e , tomamos apenas o 1º quadrante.

Essa curva (a fronteira da região) é formada por segmentos, cada um com uma parametrização. Isso ia gerar muito trabalho. Isso é uma dica de que pode ser uma boa usar o Teorema de Green, vamos tentar!

O campo vetorial da questão pode ser escrito como

Vamos agora calcular :

Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:

Note que a curva está orientada positivamente!

Como a região está compreendida entre dois arcos de circunferência, a melhor saída aqui são as coordenadas polares. Faremos:

Pelo próprio gráfico, vemos que , o que equivale a de circunferência. Os valores de variam entre os dois arcos, logo . Temos, então:

Agora podemos calcular a integral. Integrando em relação a temos:

Integramos, então, em relação a :

O enunciado pede pra usar o teorema de Green para o cálculo de área, então vamos relembrar como que fica isso.

O teorema de Green nos diz que:

E sabemos que o podemos encontrar a área pela integral dupla:

Então, basicamente, o que temos que fazer pra ligar as coisas é:

Os campos mais simples que satisfazem essa condição costumam ser:

Mas deve ter algum motivo pra ele ter sugerido um campo um pouquinho mais complicado, vamos ver porquê!

O enunciado já diz que é a fronteira da região que chamamos de , ou seja, .

Então o que vamos calcular é:

Já temos o campo e a curva, então só falta o vetor tangente, que calculamos fazendo a derivada da nossa parametrização em função de t, dada no enunciado :

E agora já temos o que precisamos pra calcularmos nossa integral.

Então, com os campos mais simples teríamos:

O que seria bem complicado de calcular, e você pode tentar fazer com , mas eu acredito que vai dar algo tão complicado quanto. Vamos torcer pra o campo sugerido dê algo mais tranquilo...

Vamos calcular então a nossa integral:

O que não é nada absolutamente trivial, mas é mais tranquilo que o que tínhamos tentado com . É só lembrar que que , que vamos ter:

Integrando isso daí, vamos ficar com:

A gente viu na teoria que podemos utilizar o teorema de Green para calcularmos a área de uma região se lembrarmos que a área pode ser calculada pela integral dupla:

E nós precisamos usar o Teorema de Green para calcular isso:

Então, podemos dizer que a integral de linha sobre a borda dessa região é igual a essa integral dupla sobre . Sendo , é claro, orientada no sentido anti-horário (positivo).

E a condição que temos que atender é, na verdade:

Então, tudo o que precisamos é de um campo que satisfaça essa condição. Vamos escolher um fácil né? Pode ser:

Nesse caso

Show! Agora podemos aplicar Green:

Logo, a área que queremos é dada pela integral de linha de em .

Vamos começar fazendo um esboço dessa região. Temos a reta (em vermelho) e a reta , que tem inclinação menor que a primeira (em azul). Temos também a curva (em verde):

A região é essa aí em cinza.

Então, a fronteira dessa região, que vai ser nossa curva tem partes, não é? Vamos precisar calcular integrais de linha.

Vamos chamar de o segmento vermelho, de o azul e o verde. Isso nos dá:

Vamos, agora, parametrizar esses segmentos:

pertence à reta , portanto;

Para achar o ponto final devemos achar a interseção

Assim, .

pertence à reta , logo:

De novo, precisamos determinar a interseção

Ou seja, .

Já pertence a , o que nos dá:

Com variando de a .

Agora vamos derivar essas parametrizações:

Agora, vamos aplicar a fórmula:

Onde

Para :

Para :

Para :

Levando o que temos paras as integrais:

Agora é só resolver isso aí

No enunciado ele já pede pra usar o Teorema de Green, mas mesmo que pudesse escolher, eu nunca faria isso pela definição, imagina como ia ficar complicado parametrizar essa lemniscata...

Por sorte, o teorema simplifica bastante as coisas pra a gente:

Como a fórmula nos mostra, precisamos calcular as derivadas parciais:

Nada muito bizarro por enquanto, né?

Vamos jogando na fórmula, então: