Teoria

Fala aí! Seja bem vindo ao Responde Aí! Bora aprender como usar o Teorema de Green de uma vez por todas?

O que é o Teorema de Green?

O Teorema de Green é uma ferramenta utilizada para calcular integrais de linha que não são possíveis de serem calculadas pela definição ou que até dão para serem calculadas pela definição, mas daria um trabalho enorme!

A fórmula do teorema de Green é a seguinte:

Teorema de Green
Teorema de Green

Parece meio complicado, não é? Mas, calma, sem desespero, vamos ver detalhadamente isso aí.

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Vamos ver com um exemplo que fica mais fácil, beleza?

Exemplo: Resolva a Seguinte Integral de Linha

Teorema de Green: Exemplo
Teorema de Green: Exemplo

Onde o é a curva sobre a qual a integral de linha será feita, é uma circunferência dada por: .

Você pode conferir a resolução desse exemplo nesse vídeo super completo sobre Teorema de Green, que o Responde Aí preparou pra você! 🧡 👇

Ou então você pode conferir a resolução em texto!

A primeira coisa que precisamos descobrir é quem vai ser esse que aparece na integral dupla, ou seja, quem vai ser o domínio de integração da integral dupla. Esse domínio de integração, será a região que está sendo delimitada pela a curva fechada na integral de linha.

No nosso exemplo, nós temos que a integral de linha é sobre uma circunferência de raio , então o domínio de integração, , da integral dupla será a região que está dentro dessa circunferência, como mostra a figura:

Região D
Região D

Beleza, agora sabemos quem é o nosso , é a região tal que .

Mas, aqui temos uma observação muito muito importante: quando vamos resolver uma integral de linha levamos em consideração a orientação da curva, então para aplicarmos o teorema de Green também precisaremos levar em consideração a orientação. Para o teorema, devemos garantir que a curva está orientada positivamente. Mas o que seria isso?

Imagine que você está caminhando sob a curva , no sentido que mostra a figura:

Região D orientada positivamente
Região D orientada positivamente

Quando você caminha nesse sentido, você ver o domínio à sua esquerda, então essa é a orientação positiva da curva . Quando estamos falando do plano , a orientação positiva é sempre o sentido anti-horário.

Agora que definimos o domínio de integração vamos continuar nosso exemplo e ver quem será o integrando da nossa integral.

Pelo teorema de Green o integrando da integral dupla é:

Quem é e no nosso problema? é quem está multiplicado por na integral de linha e é quem está multiplicado por . Então:

Agora podemos calcular as derivadas parciais:

Assim, o nosso integrando será:

Agora podemos escrever o teorema de Green:

Pelo teorema, para calcularmos a integral de linha basta calcularmos essa integral dupla da direita, que nesse caso é bem simples:

á

A área de é a área daquele círculo de raio delimitado pela curva que vimos lá no início. Então:

E pelo teorema de Green, esse é o resultado da nosso integral de linha:

Prontinho!

Como Utilizar o Teorema de Green: Passo a Passo

Pra gente fechar nosso papo de hoje, eu vou deixar aqui um resuminho esperto do passo a passo para aplicar o teorema de Green!

PASSO 1: Montar o problema, verificando as condições de aplicação do teorema

  • é uma curva fechada;
  • está orientada positivamente;
  • As função e estão bem definidas em toda a região .

PASSO 2: Achar a região de integração

Essa será a curva sobre a qual a integral de linha será feita!

PASSO 3: Calcular

Calculamos as derivadas parciais de e em relação a e a , respectivamente.

PASSO 4: Montar a integral dupla e calcular

Nesse último passo a gente resolver a integral dupla como de costume!

Agora vamos praticar com exercícios!

Como Utilizar o Teorema de Green: Passo a Passo

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