Coordenadas Cilíndricas - Cálculo

O volume que queremos calcular será dado por .

Vamos, então, fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido:

O paraboloide está virado para baixo porque os termos que multiplicam e são negativos.

Como o sólido possui simetria em relação ao eixo e as equações que o limitam tem termos quadráticos, parece uma boa ideia usar coordenadas cilíndricas. Teremos:

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Fazendo a substituição cilíndrica na equação do cilindro, teremos , como já vimos. Temos, então,

Fazendo a substituição na equação do paraboloide, temos:

Esse é o limite inferior de , o superior é o plano .

Agora falta a variável . Uma vez que o sólido está envolta do eixo , temos que varia entre e . Então, podemos escrever a região como:

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

Integrando em relação a , temos:

Agora, integramos em relação a :

Finamente, integramos em relação a :

Vamos começar desenhando esse sólido, para poder montar o problema; Temos o semicone cortado pelos planos e :

A região do problema é esse tronco de cone entre os planos azuis e nós queremos o seu volume:

Agora vamos escrever matematicamente essa região. Bom, como temos um cone e o sólido tem simetria em relação ao eixo , vamos usar coordenadas cilíndricas, ok? Temos:

Substituindo as coordenadas cilíndricas na equação do cone, temos:

Beleza, agora vamos pensar nos intervalos e . Como a região dá a volta em torno do eixo , podemos escrever . Como o enunciado mesmo já diz, temos . Beleza.

Agora vamos pensar no intervalo de . Pela figura, vemos que varia desde o eixo , onde até a superfície do cone, onde , então . Temos então:

Beleza, agora vamos escrever a integral em coordenadas cilíndricas:

Agora é só resolver isso aí!

Vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido:

Temos uma semiesfera, pois não podemos ter raiz negativa e um paraboloide virado para cima.

Como o sólido possui simetria em relação ao eixo e as equações que o limitam tem termos quadráticos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Substituir esses valores na equação da semi-esfera, temos:

Agora, na equação do paraboloide:

Como os valores de variam entre o paraboloide e a esfera, temos . Pelo próprio gráfico, vemos que , faltam, então, os limites de . Já sabemos que , mas qual o seu valor máximo? Temos esse valor quando as duas superfícies se encontram, certo? Vamos, então, fazer essa interseção:

O que nos dá e , mas, como o ponto não pertence ao paraboloide nem à esfera, sabemos que as superfícies se cortam em . Vamos descobrir, agora, que curva elas formam, substituindo esse valor na equação de uma das superfícies:

Essa é a equação de uma circunferência de raio , portanto, descobrimos que . Então, podemos escrever a região como:

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

Integrando em relação a , temos:

Agora, integramos em relação a :

Finamente, integramos em relação a :

Vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido:

Temos um cilindro de equação , uma folha de cone dada por e o plano limitando (queremos a região abaixo desse plano).

Como o sólido possui simetria em relação ao eixo e as superfícies que o limitam são um cilindro e um cone, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Fazendo essa substituição na equação do cone, já vimos que temos (com sinal negativo porque estamos nos referindo à folha que tem ). No cilindro, teremos , como também já vimos anteriormente (esse é o valor máximo de , o mínimo é ).

Pelo gráfico, vemos que os valores de variam entre a superfície do cone e o plano , portanto, . Vemos, também, que , uma vez que o sólido está envolta do eixo de simetria . Assim, podemos escrever a região como:

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

Integrando em relação a , temos:

Agora, integramos em relação a :

Finamente, integramos em relação a :

Vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido

A equação representa um paraboloide elíptico “virado” para cima, pois os coeficientes de e de são positivos. A outra equação representa uma superfície que estamos vendo nesse capítulo pela primeira vez: um hiperboloide de uma folha. Se você reparar, a equação é bem parecia com a do cone, a diferença é que temos um número independente, não apenas as variáveis.

Nossa região é, portanto, esse anel que vemos abaixo, limitado interiormente pelo hiperboloide azul.

Agora precisamos escrever matematicamente essa região . Como o sólido possui simetria em relação ao eixo e as superfícies que o limitam possuem termos quadráticos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

Vamos agora fazer essa substituição na equação do hiperboloide e na do paraboloide:

Pela figura, vemos que varia entre as duas superfícies, então, temos . Vemos, também, que , uma vez que o sólido está envolta do eixo de simetria . Falta, então, o intervalo de . Para isso, temos que encontrar as duas alturas onde as superfícies se cortam:

As interseções são, portanto duas circunferências: uma em altura e outra em .

Assim, escrevermos a região como:

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

Integrando em relação a , temos:

Agora, integramos em relação a :

Finamente, integramos em relação a :

Letra a)

Vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido

A equação representa uma esfera de raio . A outra equação representa um hiperboloide de uma folha. Se você reparar, a equação é bem parecida com a do cone, a diferença é que temos um número independente (no caso, o ), não apenas as variáveis. Realmente, o hiperbolóide tem certa semelhança com o cone, não é? Olha só:

O problema diz que é a região dentro da esfera e do paraboloide, com , portanto:

Agora precisamos escrever essa região em coordenadas cilíndricas, como o problema pede. Faremos:

Vamos agora fazer essa substituição na equação do hiperboloide e na da esfera:

Pela figura, vemos que, na parte de baixo do sólido, varia desde o eixo até a superfície do paraboloie e na parte de cima, desde o eixo até a superfície da esfera. Prontanto, nós teremos que dividir nossa região em duas partes para descrevê-la em coordenadas cilíndricas (se você seguir o mesmo raciocínio para a coordenada , chegará à mesma conclusão).

Vamos chamar esse “tronco” formado pelo paraboloide de e a “tampa” formada pela esfera de , temos .

Para

Temos o raio entre e o paraboloide, logo, .

Vemos, também, que , uma vez que o sólido está envolta do eixo de simetria . Já a coordenada varia desde até o ponto em que as superfícies se encontram.. Para isso, temos que encontrar a altura onde as superfícies se cortam:

Assim, escrevermos a região como:

Para

Temos o raio variando entre e a superfície da esfera, logo, . Novamente, . E vai desde a interseção entre as superfícies, até o topo da esfera (é o raio da esfera).

Temos então:

Letra b)

O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por . Nós sabemos que:

Onde é o diferencial de massa e o de volume. Integrando ambos os lados na região em que o sólido está contido, temos que:

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos nas integrais:

Agora vamos integrar em relação a :

Agora em relação a :

Finalmente, em relação a :