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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.9 - Ex. 7

Identifique a superfície cuja equação é dada.

ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ

Passo 1

Hey, matemático incrível! É hora de brilhar e resolver essa questão de cálculo. Vamos lá!

A equação dada é ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ em coordenadas esféricas. Para resolver isso, precisamos converter essa equação para coordenadas cartesianas e interpretar a forma geométrica resultante.

Vamos lembrar do conceito de coordenadas...

As relações entre coordenadas esféricas ρ , ϕ , θ e coordenadas cartesianas x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Multiplicando ambos os lados por ρ , obtemos ρ 2 = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ ∙ ρ . Isso sugere que y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ em coordenadas cartesianas. Ou seja:

ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ ∙ ρ ↔ ρ 2 = ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ ⏟ y

Passo 2

Substituindo ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ nas equações cartesianas correspondentes:

x = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ = s e n 2 θ   sen ⁡ ϕ

A equação simplificada em coordenadas cartesianas é:

x 2 + y 2 + z 2 = y ↔ x 2 + y 2 - y + z 2 = 0

Então, para ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ , teremos que:

x 2 + y 2 - y + 1 4 + z 2 = 0 + 1 4

Reescrevendo a equação:

x 2 + y - 1 2 2 + z 2 = 1 2 2

Temos, portanto, uma esfera de raio 1 2 e centro em 0 , 1 2 ,   0 .

Resposta

Portanto, a superfície descrita pela equação ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ em coordenadas esféricas corresponde a uma esfera de raio 1 2 ​ com centro em 0 , 1 2 ,   0 . A estratégia seguida envolveu a interpretação da equação dada em coordenadas esféricas, sua conversão para coordenadas cartesianas e a análise geométrica da forma resultante.

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