Propriedades De Integrais

Temos que transformar a soma de 3 integrais em uma só.

Repare que as integrais possuem limites de integração diferentes e queremos transformar em uma só integral com limites de integração e .

Basicamente, temos que descobrir quem é e .

Nesses tipos de problemas, onde temos que manipular somente os limites de integração, vamos ter que usar as propriedades das integrais.

Ao olhar para as duas primeira integrais que compõem a soma, já podemos, de cara, usar uma propriedade de integrais definidas:

Nesse caso, temos:

Logo:

Observe que agora reduzimos um termo daquela soma, pois as duas primeiras integrais foram substituídas por uma única integral equivalente. O que temos agora é:

Agora, para podemos utilizar a mesma propriedade de antes, devemos lembrar da propriedade de inverter os limites de integração.

Nesse caso:

Assim, temos:

Agora, podemos utilizar novamente a seguinte propriedade:

Agora, temos:

Observe que a integral resultante tem limite inferior maior que o superior. Basta utilizarmos novamente a propriedade de inverter os limites de integração para reescrevê-la:

Ele está dando integrais definidas com funções genéricas e e pedindo o valor de integrais que envolvem essas integrais. Hum, acho que isso tá com cheiro de propriedades de integrais!

Letra a)

Veja bem:

Queremos e temos o valor da integral

A única coisa que muda é a constante multiplicando , certo? Os limites de integração são os mesmos. Então que tal usarmos essa propriedade aí embaixo?

Do enunciado, sabemos que:

Logo:

Pronto!

Letra b)

Queremos e temos o valor das integrais e

Essa questão é diferente da anterior. Agora, além da constante multiplicando , os limites de integração também mudam. Observe que queremos calcular uma integral com limite inferior 2 e temos o valor de duas integrais com o limite inferior igual a -2, sendo que uma delas tem limite superior igual a 2 e a outra limite superior igual a 5.

Isso nos leva a pensar na possibilidade de usar aquela propriedade de juntar intervalor de integração:

Pensa aqui comigo se eu não posso escrever:

Bem, o que temos não é a integral de e sim

Então para podermos usar a propriedade acima, primeiro devemos utilizar aquela propriedade de inverter os limites de integração:

Nesse caso:

No item , já calculamos

Do item :

Logo:

Do enunciado:

Então:

Letra c)

Agora devemos calcular

Temos o valor de

Aqui a constante multiplicando a função muda, bem como a ordem dos limites de integração. Portanto, utilizamos as propriedades abaixo:

Temos:

Do enunciado, sabemos que:

Logo:

E então:

Letra d)

Queremos e temos o valor de , calculado no item

Nesse caso, a única coisa que difere é a constante multiplicando a função . Mais uma vez, podemos utilizar a propriedade:

Letra e)

Queremos calcular e temos os valores de (calculado no item e o valor de (calculado no item .

A primeira coisa que devemos notar é que podemos reescrever essa soma da seguinte forma:

Utilizando a propriedade:

(Ufa... me diz que você também não aguenta mais usar essa propriedade?)

Temos:

Agora nós temos a integral de uma soma. Então devemos utilizar a propriedade que diz que a integral da soma é igual à soma das integrais:

Portanto, teremos:

O problema nos pede para usarmos as propriedades das integrais e aparece uma desigualdade. Queremos provar que a integral está entre e sem calculá-la.

Temos uma integral e uma desigualdade. Isso tem uma carinha de que devemos usar aquelas propriedades de integrais definidas que envolvem desigualdades.

A função trata-se de um polinômio, e todo polinômio é uma função continua. Deste modo, em um intervalo fechado vamos ter um mínimo, , e um máximo, .

Através dos limites de integração, sabemos qual é o intervalo fechado ( . E a função é contínua nesse intervalo.

Nesse caso, vamos pensar na seguinte propriedade:

Para podermos usá-la a nosso favor, entretanto, devemos achar o mínimo e o máximo absolutos de no intervalo .

Que tal desenharmos o gráfico dessa função para visualizar melhor?

Pelo gráfico da função nesse intervalo, identificamos o mínimo e o máximo local:

Podemos utilizar, então, a propriedade:

Conforme queríamos demonstrar!