Propriedades De Integrais

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Existem algumas propriedades de integrais que são bastante importantes no cálculo e é essencial que elas estejam no sangue, porque você vai ter que usá-las o tempo todo!

Mas não se preocupe, são relações bem simples e, logo, logo, você estará usando sem nem sentir!

O Responde Aí preparou um vídeo super completo com todas as propriedades de integrais pra você arrasar na prova! Dá uma conferida 👇👇👇

📢 Clique para saber mais:

Propriedade 1 - Soma e Subtração de Integrais

Essa propriedade diz que a integral da soma ou subtração de funções é a soma ou subtração das integrais:

Soma e Subtração de Integrais
Soma e Subtração de Integrais

Por exemplo:

Propriedade 2 - Integral Múltipla de uma Constante

A integral de uma função vezes uma constante é igual à integral daquela função multiplicada pela constante.

Múltiplo constante
Múltiplo constante

Em outras palavras, a constante pode ser colocada “para fora” da integral!

Por exemplo:

Propriedade 3 - Integral com Intervalo igual a zero

Quando uma integral tem limites superior e inferior iguais seu resultado é nulo!

Integral com distância zero
Integral com distância zero

Propriedade 4 - Integral de uma Constante

A integral de uma função constante, é dada por:

Integral de uma constante
Integral de uma constante

Propriedade 5 - Integral com Limites Invertidos

Ao trocar os limites de integração inferior e superior, troca-se o sinal da integral:

Inversão dos limites de uma integral
Inversão dos limites de uma integral

Por exemplo:

Propriedade 6 - Soma de Intervalos

Soma de intervalos
Soma de intervalos

Pra ficar mais claro, considere a seguinte área sobre a curva:

Áreas A1 e A2 sobre a curva
Áreas A1 e A2 sobre a curva

Podemos dizer que:

Então:

Propriedade 7 - Sinal de uma Integral

Sinal de uma integral
Sinal de uma integral

Para lembrar dessa propriedade, facilita lembrar da interpretação como área.

  • Se é sempre maior que zero no intervalo , então a integral será sempre igual à área da região delimitada naquele intervalo. Lembre-se que área é sempre um número positivo!

  • Por outro lado, se é sempre menor que zero naquele intervalo, a integral será sempre igual ao simétrico da área delimitada naquele intervalo. Como a área é sempre um número positivo, então a integral será um número negativo!

Resumo: Propriedades das Integrais

Agora, pra fechar, se liga nesse resumo com todas as propriedades de integrais que você precisa saber! 👇👇👇

Propriedades de Integrais
Propriedades de Integrais

Agora, vamos praticar com exercícios?

Propriedade 1 - Soma e Subtração de Integrais

Propriedade 2 - Integral Múltipla de uma Constante

Propriedade 3 - Integral com Intervalo igual a zero

Propriedade 4 - Integral de uma Constante

Propriedade 5 - Integral com Limites Invertidos

Propriedade 6 - Soma de Intervalos

Propriedade 7 - Sinal de uma Integral

Resumo: Propriedades das Integrais

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Escreva como uma integral única na forma ∫ a b f x d x :

∫ - 2 2 f ( x ) d x + ∫ 2 5 f ( x ) d x - ∫ - 2 - 1 f ( x ) d x

Passo 1

Temos que transformar a soma de 3 integrais em uma só.

Repare que as integrais possuem limites de integração diferentes e queremos transformar em uma só integral com limites de integração a e b .

Basicamente, temos que descobrir quem é a e b .

Passo 2

Nesses tipos de problemas, onde temos que manipular somente os limites de integração, vamos ter que usar as propriedades das integrais.

Ao olhar para as duas primeira integrais que compõem a soma, já podemos, de cara, usar uma propriedade de integrais definidas:

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x    

Nesse caso, temos: ∫ - 2 2 f ( x ) d x + ∫ 2 5 f ( x ) d x

a =   - 2

b = 2

c = 5

Logo:

∫ - 2 2 f ( x ) d x + ∫ 2 5 f ( x ) d x = ∫ - 2 5 f x d x

Observe que agora reduzimos um termo daquela soma, pois as duas primeiras integrais foram substituídas por uma única integral equivalente. O que temos agora é:

∫ - 2 2 f ( x ) d x + ∫ 2 5 f ( x ) d x - ∫ - 2 - 1 f ( x ) d x

= ∫ - 2 5 f ( x ) d x - ∫ - 2 - 1 f ( x ) d x

Passo 3

Agora, para podemos utilizar a mesma propriedade de antes, devemos lembrar da propriedade de inverter os limites de integração.

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f x d x    

Nesse caso: ∫ - 2 5 f x d x = - ∫ 5 - 2 f x d x

Assim, temos:

= ∫ - 2 5 f ( x ) d x - ∫ - 2 - 1 f ( x ) d x

- ∫ 5 - 2 f x d x - ∫ - 2 - 1 f ( x ) d x

Agora, podemos utilizar novamente a seguinte propriedade:

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x    

Agora, temos:

a =   5

b = - 2

c = - 1

- ∫ 5 - 2 f x d x - ∫ - 2 - 1 f x d x =   - ∫ 5 - 1 f x d x

Passo 4

Observe que a integral resultante tem limite inferior maior que o superior. Basta utilizarmos novamente a propriedade de inverter os limites de integração para reescrevê-la:

- ∫ 5 - 1 f ( x ) d x = ∫ - 1 5 f ( x ) d x

Resposta

∫ - 1 5 f ( x ) d x

Exercício Resolvido #2

Se ∫ - 2 2 3   f x d x = 12 , ∫ - 2 5 3   f ( x ) d x =   6 e ∫ - 2 5 3 g ( x ) d x = 2 , determine:

a )   ∫ - 2 2 f x d x

b )   ∫ 2 5   f ( x ) d x

c )   ∫ 5 - 2 g ( x ) d x

d )   ∫ - 2 5 ( - π   g x ) d x

e )   ∫ - 2 5 f x +   g x 5 d x

Passo 1

Ele está dando integrais definidas com funções genéricas f x e g ( x ) e pedindo o valor de integrais que envolvem essas integrais. Hum, acho que isso tá com cheiro de propriedades de integrais!

Passo 2

Letra a)

Veja bem:

Queremos ∫ - 2 2 f x d x e temos o valor da integral ∫ - 2 2 3   f x d x

A única coisa que muda é a constante multiplicando f ( x ) , certo? Os limites de integração são os mesmos. Então que tal usarmos essa propriedade aí embaixo?

∫ a b   c   f x d x = c ∫ a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

∫ - 2 2 3   f x d x = 3 ∫ - 2 2   f x d x

∫ - 2 2   f x d x = 1 3 . 3 ∫ - 2 2   f x d x = 1 3 ∫ - 2 2 3   f x d x

Do enunciado, sabemos que:

∫ - 2 2 3   f x d x = 12

Logo:

∫ - 2 2   f x d x = 12 3 = 4

Pronto!

Passo 3

Letra b)

Queremos ∫ 2 5 f x d x e temos o valor das integrais ∫ - 2 5 3   f x d x e ∫ - 2 2 3   f x d x

Essa questão é diferente da anterior. Agora, além da constante multiplicando f ( x ) , os limites de integração também mudam. Observe que queremos calcular uma integral com limite inferior 2 e temos o valor de duas integrais com o limite inferior igual a -2, sendo que uma delas tem limite superior igual a 2 e a outra limite superior igual a 5.

Isso nos leva a pensar na possibilidade de usar aquela propriedade de juntar intervalor de integração:

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x    

Pensa aqui comigo se eu não posso escrever:

∫ 2 - 2 f ( x ) d x + ∫ - 2 5 f ( x ) d x = ∫ 2 5 f ( x ) d x    

Bem, o que temos não é a integral de ∫ 2 - 2 f ( x ) d x e sim ∫ - 2 2 f ( x ) d x

Então para podermos usar a propriedade acima, primeiro devemos utilizar aquela propriedade de inverter os limites de integração:

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f x d x    

Nesse caso: ∫ 2 - 2 f x d x = - ∫ - 2 2 f x d x

No item a ) , já calculamos ∫ - 2 2 f x d x

Do item a ) :

∫ - 2 2 f x d x = 4

Logo:

∫ 2 - 2 f x d x = - 4

Do enunciado:

∫ - 2 5 3   f ( x ) d x =   6

∫ - 2 5   f ( x ) d x =   2

Então:

∫ 2 - 2 f ( x ) d x + ∫ - 2 5 f ( x ) d x = ∫ 2 5 f ( x ) d x    

- 4 + 2 = ∫ 2 5 f ( x ) d x    

∫ 2 5 f ( x ) d x   = - 2

Passo 4

Letra c)

Agora devemos calcular

∫ 5 - 2 g x d x

Temos o valor de

∫ - 2 5 3   g x d x

Aqui a constante multiplicando a função g ( x ) muda, bem como a ordem dos limites de integração. Portanto, utilizamos as propriedades abaixo:

∫ a b   c   g x d x = c ∫ a b   g x d x ,   onde   c   é  uma constante qualquer

∫ a b g ( x ) d x = - ∫ b a g x d x    

Temos:

∫ - 2 5 3   g x d x = 3 ∫ - 2 5   g x d x

∫ - 2 5   g x d x = 1 3 ∫ - 2 5 3   g x d x

Do enunciado, sabemos que:

∫ - 2 5 3   g x d x = 2

Logo:

∫ - 2 5   g x d x = 2 3

E então:

∫ 5 - 2   g x d x = - ∫ - 2 5   g x d x = - 2 3

Passo 5

Letra d)

Queremos ∫ - 2 5 ( - π   g x ) d x e temos o valor de ∫ - 2 5 g ( x ) d x , calculado no item c )

Nesse caso, a única coisa que difere é a constante multiplicando a função g ( x ) . Mais uma vez, podemos utilizar a propriedade:

∫ a b   c   f x d x = c ∫ a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

∫ - 2 5 - π   g x d x = - π ∫ - 2 5   g x d x

∫ - 2 5 - π   g x d x = - π 2 3  

∫ - 2 5 - π   g x d x = - 2 π 3

Passo 6

Letra e)

Queremos calcular ∫ - 2 5 f x +   g x 5 d x e temos os valores de ∫ - 2 5   f x d x (calculado no item b ) e o valor de ∫ - 2 5   g x d x (calculado no item c ) .

A primeira coisa que devemos notar é que podemos reescrever essa soma da seguinte forma:

∫ - 2 5 f x +   g x 5 d x = ∫ - 2 5 1 5 f x + g x d x

Utilizando a propriedade:

∫ a b   c   f x d x = c ∫ a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

(Ufa... me diz que você também não aguenta mais usar essa propriedade?)

Temos:

∫ - 2 5 1 5 f x + g x   d x = 1 5 ∫ - 2 5 f x + g x   d x

Agora nós temos a integral de uma soma. Então devemos utilizar a propriedade que diz que a integral da soma é igual à soma das integrais:

∫ a b [ f x + g x ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x

Portanto, teremos:

1 5 ∫ - 2 5 [ f x + g x ] d x = 1 5 ∫ - 2 5 f x d x + ∫ - 2 5 g x d x

1 5 ∫ - 2 5 f x + g x d x = 1 5 2 + 2 3

1 5 ∫ - 2 5 f x + g x d x = 1 5 8 3 = 8 15

Resposta

a )   ∫ - 2 2 f x d x = 4

b )   ∫ 2 5   f ( x ) d x = - 2

c )   ∫ 5 - 2 g ( x ) d x = - 2 3

d )   ∫ - 2 5 ( - π   g x ) d x = - 2 π   3

e )   ∫ - 2 5 f x +   g x 5 d x = 8 15

Exercício Resolvido #3

Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.

2 ≤ ∫ - 1 1 1 + x 2 d x ≤ 2 2

Passo 1

O problema nos pede para usarmos as propriedades das integrais e aparece uma desigualdade. Queremos provar que a integral está entre 2 e 2 2 sem calculá-la.

Passo 2

Temos uma integral e uma desigualdade. Isso tem uma carinha de que devemos usar aquelas propriedades de integrais definidas que envolvem desigualdades.

A função trata-se de um polinômio, e todo polinômio é uma função continua. Deste modo, em um intervalo fechado vamos ter um mínimo, m , e um máximo, M .

Através dos limites de integração, sabemos qual é o intervalo fechado ( - 1 ≤ x ≤ 1 ) . E a função 1 + x 2 é contínua nesse intervalo.

Nesse caso, vamos pensar na seguinte propriedade:

S e   m ≤ f x ≤ M ,   p a r a   t o d o   a ≤ x ≤ b →   m   ( b - a ) ≤ ∫ a b f x ≤ M ( b - a )

Para podermos usá-la a nosso favor, entretanto, devemos achar o mínimo e o máximo absolutos de f x no intervalo [ - 1,1 ] .

Que tal desenharmos o gráfico dessa função para visualizar melhor?

P a r a   x =   - 1 →   1 + x 2 = 2

P a r a   x = 0 → 1 + x 2 = 1

P a r a   x = 1 → 1 + x 2 = 2

Pelo gráfico da função nesse intervalo, identificamos o mínimo e o máximo local:

S e   1 ≤ 1 + x 2 ≤ 2 ,   p a r a   t o d o - 1 ≤ x ≤ 1

m = 1

M = 2

Podemos utilizar, então, a propriedade:

S e   m ≤ f x ≤ M ,   p a r a   t o d o   a ≤ x ≤ b →   m   ( b - a ) ≤ ∫ a b f x ≤ M ( b - a )

m   b - a = 1 . 1 - - 1

m   b - a = 2

M b - a = 2 1 - - 1 = 2 2

2 ≤ ∫ - 1 1 1 + x 2 ≤ 2 2

Conforme queríamos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Use um sistema de computação algébrica para calcular a integral. Compare a resposta com o resultado usando as tabelas. Se as respostas forem diferentes, mostre que elas são equivalentes. ∫ x 2 1 - x 2
Nestes exercícios, suponha que o objeto move-se com aceleração constante no sentido positivo de um eixo. Aplique as Fórmulas (10) e (11) conforme for apropriado. Em alguns dos problemas, você necessit
Uma partícula move-se com aceleração a tm / s 2 ao longo de um eixo s e tem velocidade v 0m / s no instante t = 0 . Encontre o deslocamento e a distância percorrida por ela durante os intervalos de te
Nestes exercícios, suponha que o objeto move-se com aceleração constante no sentido positivo de um eixo. Aplique as Fórmulas (10) e (11) conforme for apropriado. Em alguns dos problemas, você necessit
Nestes exercícios, suponha que o objeto move-se com aceleração constante no sentido positivo de um eixo. Aplique as Fórmulas (10) e (11) conforme for apropriado. Em alguns dos problemas, você necessit