Teoria

Fala aí, nós somos o Responde Aí e estamos aqui pra te ajudar nos sufocos do Cálculo! Hoje eu vou te apresentar o Teorema Fundamental do Cálculo!

O que é o Teorema Fundamental do Cálculo?

Sabe algumas operações inversas que a gente tem em matemática? Como por exemplo, a multiplicação é a operação inversa da divisão, ou então o logaritmo é a operação inversa da exponencial.

Esse é o espirito da coisa aqui! O Teorema Fundamental do Cálculo relaciona a integral com a derivada! A gente costuma dividir o Teorema fundamental do Cálculo em duas partes, a primeira é essa daqui:

Teorema Fundamental do Cálculo: Parte 1
Teorema Fundamental do Cálculo: Parte 1

O que o teorema está dizendo é que se a função é definida como a integral da função , que é uma função contínua, então a derivada de será a função .

Agora temos a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo:

Teorema Fundamental do Cálculo: Parte 2
Teorema Fundamental do Cálculo: Parte 2

Ou seja, para encontrarmos a integral definida de entre e , devemos encontrar uma antiderivada , também chamada de primitiva e calcular .

Ainda parece grego? Calma, confere esse videozinho aqui 👇👇👇

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Teorema Fundamental do Cálculo: Exemplo

Considere a seguinte função , contínua no intervalo :

Se quisermos calcular a derivada de podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo, porque está escrita como a integral de uma função exponencial e a função exponencial é contínua, ou seja, temos todas as características que aparecem no teorema, por isso podemos usá-lo.

Vamos primeiro organizar as funções:

Se aplicarmos o teorema teremos que:

Basta pegarmos a função e onde tiver trocamos por , assim:

Se liga que não é importante o limite inferior da integral, pode ser qualquer constante, e o limite superior deve ser o .

Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia

Imagina comigo a seguinte situação:

Aqui, ao invés do limite superior ser uma constante ela é uma função! Como podemos resolver isso?!

Primeiro nós teremos que definir duas novas funções:

Note que se eu faço , ou seja, pego a função e no lugar de eu coloco eu obtenho exatamente a função , então:

Para encontrarmos a derivada de , podemos aplicar a regra da cadeia nessa última expressão:

A derivada de encontramos pelo teorema fundamental do cálculo:

ã

Mas como queremos vamos substituir por :

Agora, calculamos a derivada de

ã

Agora, temos que substituir na expressão que achamos para :

Parece meio confuso?

De forma geral, é só seguir esse quadrinho aqui:

Teorema fundamental do cálculo e a Regra da Cadeia
Teorema fundamental do cálculo e a Regra da Cadeia

Exercício: Seja , calcule e determine

Agora bora praticar com mais exercícios?!

Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia

Exercício: Seja , calcule e determine

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