Teorema Fundamental do Calculo

O que esse exercício está pedindo? Observa que ele está me pedindo uma derivada em relação a , pois eu tenho .

Só que quem é o ?

No fundo, o que ele quer é .

E aí? Não tá com cara de que teremos que usar o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1? Viu como às vezes reescrever o problema já facilita?

Agora que já sabemos o que o problema está querendo, identificamos que o limite superior da integral é a função .

Portanto, para achar a derivada , teremos que usar a regra da cadeia. Primeiro substituímos a variável por . Depois, multiplicamos pela derivada de .

É isso.

1. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, nós temos que se uma função continua é dada por

Então,

Ok, mas como eu aplico isso para resolver a letra a?

Repara que aqui queremos achar a derivada de uma função em , que é a .

E a é definida como uma integral, que tem como variável . Ou seja, podemos dizer que

Opa, isso é um indicativo que podemos resolver pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Então vamos aplica-lo para achar

Antes de aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, repara em uma coisinha:

No problema o está no limite inferior e a constante no limite superior. E o para resolver pelo Teorema Fundamental do Cálculo, como no exemplo do Passo 1, teria que ser o contrario.

Mas fica tranquilo, que é só usar aquela propriedade de troca de limites esperta para inverter os limites, lembra?

A gente simplesmente inverte os limites da integração e coloca um sinal de menos na frente da integral. Então utilizando a propriedade fica assim:

Agora sim nós podemos aplicar nosso maravilhoso Teorema Fundamental do Cálculo. Bom, já que temos agora que:

E dado que a função é contínua no intervalo .

Então podemos aplicar o teorema nesse caso, chegando nisso aqui:

O que a questão pede é e não . Observe que é uma função. Quando queremos calcular o valor de uma função de em dado ponto, o que fazemos? Não é simplesmente substituir pelo valor da função naquele ponto?

Então é isso que vamos fazer!

Fazendo

b) Para acharmos essa área, primeiro temos que achar a reta tangente. E como que achamos a reta tangente? Vamos fazer igual quando fazíamos lá em derivadas:

Como ele pede para o ponto:

Para a nossa alegria, já temos o valor de que calculamos no passo anterior, que é igual a .

Agora vamos encontrar

Antes disso, vamos chamar a primitiva da integral de .

Ok, perceba que ele deu a seguinte expressão no enunciado:

Se a gente tivesse que calcular isso passo-a-passo, primeiro a gente encontraria a primitiva para depois substituir os limites de integração, assim:

Agora compare com a expressão de :

Percebe que a função de dentro da integral não mudou? Então a primitiva, , é a mesma.

A única coisa que mudou foi que o que aparecia no limite inferior da integral virou .

Então quando a gente substituir 1 na expressão, teremos,

Beleza, agora vamos montar a nossa equação:

Agora que já temos a equação da reta tangente, podemos traçar o gráfico para calcular a área:

Temos uma região que corresponde a um triângulo retângulo. Já sabemos que a área de um triângulo é dada por:

A base é a distância do ponto onde a reta corta o eixo até o ponto . Por isso, basta descobrimos onde a reta corta o eixo . Ela corta o eixo quando , concorda?

Então basta substituirmos na equação da reta e acharmos o valor de correspondente, beleza?

Temos . Fazendo :

Já a altura será , que é o ponto onde a reta tangente corta o eixo . Portanto, a área pedida será:

Onde “u.a.” significa unidade de área.

Novamente, temos uma questão em que ele pede a derivada de uma função em em que aparece uma integral em . Ok, já sei que você não aguenta mais, mas vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1.

Para deixar a vida um pouco menos monótona, esse caso vai ser um pouquinho diferente. A primeira coisa que você tem que observar é que existe um dentro da integral. Não dá para resolver assim, porque o também é um limite de integração.

Por outro lado, lembra que eu comentei lá na teoria que a variável dentro da integral é e não ? Então o funciona como uma constante para a função dentro da integral. Quando temos uma constante, ela pode ser colocada para fora da integral. Então se conseguirmos separar aquela expressão em uma expressão que dependa apenas de , poderemos tirar essa expressão da integral. Lembre-se que expressões de não podem ser tiradas da integral, pois é a variável da integral!

Outra questão é que vamos cair naquele caso que comentei na observação, em que você tem função de tanto no limite inferior quanto superior. Então... o que é que a gente faz mesmo?

Isso aí: usa aquela propriedade de separar os limites. Vamos transformar em duas integrais: a primeira vai do limite inferior até uma constante qualquer (lembre-se que isso não faz diferença: basta que não seja função de!) e a segunda vai de até o limite superior que temos agora.

Mãos-à-obra?

Primeiro, vamos nos preocupar em tirar o da integral. Olha bem para aquela expressão que temos dentro da integral: temos uma exponencial elevada a uma soma. Lembra das propriedades de função exponencial?

Quando expoentes se somam, para uma mesma base, é como se ocorresse um produto da base elevada a cada expoente:

Então concorda que a expressão que eu tenho é equivalente a:

Olha só como fica a integral:

Lembra que eu falei que uma expressão em é como se fosse uma constante para a função que está dentro da integral, já que a variável da função que está dentro da integral é e não ? Então podemos tirar aquele da integral, certo?

Beleza. Agora que já nos livramos daquele dentro da integral que estava só atrapalhando, podemos nos concentrar em resolver o problema dos dois limites de integração com funções de . Também já sabemos como resolver isso, certo?

Vamos dividir os limites de integração através da propriedade:

Lembrando que é apenas uma constante qualquer independente de , para podermos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo. Você não precisa se preocupar com seu valor.

Agora vemos que na primeira integral a função de está no limite inferior enquanto a constante está no limite superior. O que fazemos? Isso mesmo: invertemos os limites, invertendo o sinal da integral!

Agora vamos resolver a derivada desse troço. Se não prestarmos atenção, podemos acabar fazendo besteira. Repara aqui comigo. O que queremos é obter a derivada da função . A variável da função é . Aquele saiu da integral mas continua ali dentro de , concorda?

Para , esse não é uma constante, porque ele tem a variável ! Ao aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais também serão transformadas em funções de . Isso porque substituiremos a variável pelas funções de que estão no limite de integração.

Então, no fundo, no fundo, é como se a função estivesse definida como o produto de duas funções de .

É como se tivéssemos isso aqui, ó:

Quando queremos derivar uma função que é produto de duas funções, o que fazemos? Utilizamos a Regra do Produto! Então é isso que vamos fazer aqui!

Que equivale a:

Lembrando que para derivar , usamos a regra da cadeia como eu mostrei na observação 2

Agora, além de , ele pede .

é uma função. Quando queremos calcular o valor de uma função de em dado ponto, o que fazemos? Não é simplesmente substituir pelo valor da função naquele ponto?

Então é isso que vamos fazer!

Fazendo

Quando uma integral tem limites superior e inferior iguais seu resultado é nulo:

Bom, ele quer a derivada de , sendo que está definida como uma integral em . Até aí, tudo igual ao que já vimos. O que está no numerador é uma função de , que ele chamou de . Até aí tranquilo também: já sabemos que teremos que usar a regra da cadeia.

Só que se você olhar para a que ele definiu, você pode ficar assustado(a) porque ela também tem uma integral. Mas calminha aí! Ao invés de nos preocuparmos com a , vamos resolver tudo em função dela e depois substituir. Aí você vai ver que não tem nenhum bicho de sete cabeças aí!

A primeira coisa que temos que fazer quando queremos a derivada de nesses casos é substituir a variável pela função de no limite da integração e depois utilizar a regra da cadeia, ou seja, multiplicar pela derivada dessa função.

Nesse caso, vamos, incialmente, esquecer que ele definiu e escrever no lugar de :

A princípio, não sabemos quem é , então simplesmente indicamos a sua derivada como :

Agora podemos nos preocupar com . Observe que também é definida como uma integral que tem variável . A princípio, precisaríamos calcular o valor de para substituir na expressão de . Mas como ele pede , veremos que isso não será necessário.

Para achar basta utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo:

Vamos substituir na expressão que encontramos para :

Bom, ele quer o valor de . Não é necessário, de fato, resolver a integral para calcular . Apenas entender que, como ele quer especificamente no ponto só precisávamos do valor de também em .

Ok, mas eu ainda preciso do valor de . Como calculo isso? Assim como em outros casos que já vimos, para achar basta substituir o no limite de integração por :

Limites de integração iguais? Rapaz, isso vai dar . Com isso, podemos substituir por na expressão e, finalmente, calcular .

Confessa aí: maneirinha essa questão, hein?