Teoria

Bora aprender a fazer Substituição Trigonométrica?!

Então já vamos começar com tudo! Eu quero que vc pense em como você resolveria esse problema aqui:

Difícil, não é? 😱

Calma! Fica comigo que você vai aprender! Vamos resolver essa integral por substituição trigonométrica! 😉

Só que ai você me pergunta

-“ Como você sabia que da pra resolver esse problema com substituição trigonométrica? Eu não to vendo nenhum seno, cosseno, tangente e afins.. 😖”

Excelente questão! Vamos começar entendendo quando usar a substituição trigonométrica para resolver a integral!

Quando usar a Substituição Trigonométrica?

Sempre que alguma parte da nossa integral se parecer com algum desses casos aqui:

Quando usar substituição trigonométrica?
Quando usar substituição trigonométrica?

Agora, vamos dar uma olhadinha no nosso exemplo inicial?

Opaa, ali no denominador temos um , onde o , então sabemos que da pra resolver essa integral usando substituição trigonométrica! 😁

Para cada caso, vamos fazer um tipo de substituição:

Substituições para cada caso
Substituições para cada caso

Como Fazer a Integral por Substituição Trigonométrica?

Vamos aprender na prática, resolvendo o nosso exemplo!

Passo 1: Identificar o caso da Substituição Trigonométrica

O primeiro passo a gente meio que já fez! Temos que olhar pra nossa integral, olhar pro quadrinho de casos que se encaixam na substituição trigonométrica e ver onde que ele se encaixa!

Mas recapitulando, temos , que se encaixa no segundo caso onde o .

Logo, faremos:

Que vai ficar:

Passo 2: Calcular

Já conhecemos o :

Então temos que deriva-lo para achar :

Pra agilizar as contas e dar aquele confere você pode usar nossa calculadora de derivadas!

Passo 3: Substituir o e o na integral original

Substituindo:

Podemos dar uma arrumadinha nisso, pra te ajudar você pode dar uma conferida na nossa tabela de relações trigonométricas!

Ficamos com:

Bem menos assustador!

Passo 4: Calcular a Integral com relação a

Passo 5: Converter o  na variável inicial

Vamos considerar o triângulo retângulo:

Triângulo Retângulo
Triângulo Retângulo

Sabemos que:

Para o nosso exemplo:

Logo:

Só pra a gente visualizar melhor, podemos jogar no triângulo:

Triângulo Retângulo: Hipotenusa
Triângulo Retângulo: Hipotenusa

Huuum…acho que rola um teorema de pitágoras aqui:

Agora podemos completar nosso triângulo retângulo:

Triângulo Retângulo: Exemplo
Triângulo Retângulo: Exemplo

Podemos voltar pro nosso problema…

Podemos reescrever o e o :

Então ficamos com:

Awee!!

Pra conferir essa resposta você também pode usar nossa Calculadora de Integrais! 😉

DESAFIO: Resolva a seguinte Integral usando Substituição Trigonométrica

A resolução desse problema você pode conferir nesse vídeo abaixo:

Bora praticar com mais exercícios?

Como Fazer a Integral por Substituição Trigonométrica?

DESAFIO: Resolva a seguinte Integral usando Substituição Trigonométrica

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