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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 60

Calcule a integral

int (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Utilizando a seguinte substituição trigonométrica, temos

2 x = sec theta ; 2 d x = sec theta tan theta d theta

int (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x = int ((1)/(2) sec theta tan theta)/((1)/(4) sec^2 theta sqrt(sec^2 theta - 1)) d theta

Podemos simplificar a integral utilizando as relações trigonométricas, ficando com

int ((1)/(2) sec theta tan theta)/((1)/(4) sec^2 theta sqrt(tan^2 theta)) d theta = int (2 tan theta)/(sec theta tan theta) d theta

Passo 3

Podemos novamente simplificar a integral, ficando com

int (2 tan theta)/(sec theta tan theta) d theta = 2 int cos theta d theta = 2 sin theta + C

Utilizando o seguinte triângulo, podemos encontrar o valor de sin theta

2 sin theta + C = (2 sqrt(4 x^2 - 1))/(2 x) + C = (c a t e t o o p o s t o a o â n g u l o)/(h i p o t e n u s a)

Resposta

int (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x = (sqrt(4 x^2 - 1))/(x) + C

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Área Determine a área delimitada pela elipse(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 .
Área Determine a área da região no primeiro quadrante que é delimitada pelos eixos coordenados e pela curva y = 9 - x 2 3 .
Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais. ∫ x - 2 x - 1 d x
Calcule a integral indefinida:int (d x)/(x sqrt(x^4 - 4))
Calcule a integral indefinida:int (d x)/((5 - 4 x - x^2)^((3)/(2)))