Continuidade de funções

Queremos fazer valer a continuidade nesse ponto, portanto:

Para que ela seja contínua nesse ponto, temos que garantir que seus limites laterais sejam iguais, bem como o próprio valor da função no ponto, ou seja:

Antes do , a função é dada pela lei . Bem no ponto ela vale , enquanto depois desse valor sua formação é dada por . Agora, basta resolver e matar o valor das constantes.

Bora testar os valores no limite?

Para B

Logo,

Para que esse cara seja contínuo em precisamos que:

Já temos que . A questão se resume a verificar se

Também valerá .

Ao substituir cairemos numa indeterminação do tipo . Como encontramos ali duas diferenças, uma envolvendo raiz quadrada e outra envolvendo raiz cúbica, faz sentido calcular o limite através da multiplicação de seus conjugados. Para o termo de cima, teríamos:

Para o termo de baixo, com raiz cúbica, faremos o seguinte:

Voltando tudo ao limite:

Enfim, comprovamos que

E, portanto, a função será contínua.

Para que a função seja contínua em , precisamos que:

No caso, temos que:

Mas não somente isso, precisamos também garantir que o limite exista, e isso só ocorre se os limites laterais forem iguais, ou seja:

Portanto, fazendo pela esquerda:

Fazendo pela direita:

Portanto, para fugir da indeterminação nós calculamos ele pelo Limite Fundamental Trigonométrico:

Devemos ter então que:

No domínio , temos uma constante e um cosseno, sendo sua composição uma função contínua. Já no domínio , a função é uma composição de funções contínuas, já que polinômios e senos são contínuos, a raiz ali tem seu argumento positivo ou nulo, pois é a raiz de um número negativo vezes , e o único ponto onde o argumento do seno é descontínuo é , onde muda a lei de formação e observaremos com mais calma agora.

Resumindo: A função é contínua em . Para ela ser contínua, basta que achemos que ela é contínua também em .

Sabemos que, para que a função seja contínua em , precisamos que:

Aplicando pela direita o limite, temos:

Como se trata de uma função contínua:

Pelo lado esquerdo, temos:

Se tentarmos aplicar propriedades de limites, teremos um problema. Distribuindo o limite pelas funções:

O que acontece aqui é que não conseguimos avaliar o limite de , pois:

E não possuímos nenhuma informação acerca de . Essa função não é definida à medida que o vai para infinito ou menos infinito. O único jeito de atacar esse problema é com o Teorema do Confronto:

Independentemente do argumento do seno, essa relação acima vale. Multiplicando tudo por :

Puxando o limite:

Como temos que:

Pois a raiz é uma função contínua. Então segue que:

Gerando que

Substituindo no limite original, pelas propriedades de limites:

Portanto, como os limites tem que ser iguais:

Para termos a função contínua em necessitamos que

Onde . Assim, queremos:

Começamos com o limite de valores menores que :

Tem uma cara de Limite Fundamental Trigonométrico, né? Vamos apostar nisso, forçar aparecer um embaixo e substituí-lo

Vamos calcular agora o limite para :

Nesse limite aí, repara que teríamos uma indeterminação dentro do seno e um fora:

Para resolver o problema do seno, uso o Teorema do Confronto com ele:

Agora basta calcular o seguinte:

Repara que esse cara pode ser multiplicado pelo seu conjugado para dar em alguma coisa função de seno:

Você deve lembrar que, pela relação fundamental da Trigonometria, . Com isso, colocando o seno ao quadrado em evidência teríamos:

Repara que eu multipliquei um em cima e embaixo, para poder aparecer o limite fundamental ao quadrado no primeiro cara:

Com isso, concluímos que

Logo,

E

Juntando o que calculamos, queremos:

Para os valores de , acharemos:

Como teríamos

Achamos os pares e , gerando que a função seja contínua em .