Teoria

Bora bater um papo sobre o Teorema do Valor Intermediário?!

Aqui é no RespondeAí você vai aprender sobre Teorema do Valor Intermediário e todas aquelas matérias de exatas que te fazem perder o sono!

Então bora lá!

Também conhecido como Teorema de Bolzano ele diz que, para uma função contínua em um intervalo fechado seja um número qualquer entre e , em que . Então existe um número em tal que.

-Oiii?!

Pra ficar mais claro, eu vou te propor um desafio!

Eu quero que você tente com apenas uma linha, conectar os pontos da figura abaixo sem passar por ou seja pelo eixo !

Dois pontos no sistema cartesiano (x,y).
Dois pontos no sistema cartesiano (x,y).

Essa reta (ou curva) vai ser nossa função e você pode quebrar a cabeça, mas esse problema não tem solução!

função f(x) com a<x<b.
função f(x) com a

A função necessariamente vai cruzar o eixo . E o ponto onde a reta toca o eixo já é um ponto intermediário, o que comprova que precisa existir pelo menos um ponto intermediário de valor entre e !

Teorema do Valor Intermediário: Raízes de uma função

Esse é um caso particular do Teorema do Valor Intermediário e para entende-la vamos usar a mesma imagem do exemplo anterior:

função f(x) com a<x<b.
função f(x) com a

Uma consequência da definição do Teorema de Bolzano é que, se uma função contínua troca de sinal num certo intervalo, ela tem ao menos uma raiz real naquele intervalo.

Repare no desenho, tem sinal positivo, enquanto tem sinal negativo e não tem como ligar os pontos sem cruzar o eixo , onde se encontra uma raiz da função!

Exemplo:

Vamos então aplicar esse conceito na prática! Provando que  tem ao menos uma raiz real no intervalo .

Como  e , a função trocou de sinal, ou seja, pelo teorema do Valor Intermediário (TVI), existe ao menos uma raiz real no intervalo!

-Simples assim? Só isso?

Sim!!

Teorema do Valor Intermediário: Raízes de uma equação

Imagine que eu te perguntasse se essa equação tem solução:

Mas você tem que provar pelo teorema do valor intermediário! Por onde você começaria?

Podemos manipular a equação e fazer:

Então podemos usar o TVI para verificar sobre a existência de raízes dela. Isso é a mesma coisa que procurar pontos onde as funções são iguais!

Ou seja, se você achar dois pontos em que  mude seu sinal nós já garantimos que haverá pelo menos uma solução para essa igualdade inicial!

Ainda ficou com dúvida? Tem um vídeo aqui em baixo pra te ajudar!

Agora vamos fazer exercícios?!

Teorema do Valor Intermediário: Raízes de uma função

Teorema do Valor Intermediário: Raízes de uma equação

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