Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.5 - Ex. 26
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.
Passo 1
Aqui temos a função:
O enunciado pede para explicitarmos o domínio da função e justificar, usando os teoremas mostrados ao longo da seção no livro, que ela é contínua em todos os pontos de seu domínio.
Uma função contínua pode é aquela cujo gráfico pode ser desenhado sem levantar a caneta do papel! Agora vamos revisar os teoremas:
- O teorema 4 afirma que a soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas é uma função contínua.
- O teorema 5 afirma que todos os polinômios e funções racionais (quociente de polinômios) são funções contínuas em seus domínios.
- O teorema 7 afirma que todas as funções raízes, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas são contínuas em seus domínios.
- Já o teorema 9 afirma que a composta de funções contínuas é contínua.
Passo 2
Como é a função inversa do seno, seu domínio é a imagem da função seno. Na prática o da função seno assume valores entre e , então o argumento de fica restrito a esses valores.
Assim, temos que:
Então o domínio de é:
Passo 3
Agora conhecedo o domínio temos que explicar porque a nossa função é continua nesse domínio:
Pelos teoremas 5 e 7, as funções e são contínuas. E aqui temos:
Reparou que ela é uma função composta?! Pelo teorema 9 ela é uma função contínua em seu domínio!
Resposta
R: demonstração e.