Limite Fundamental Exponencial
Teoria
Fala aí! Hoje quero te mostrar o tal do limite fundamental exponencial. Esse cara vai facilitar muito nossa vida quando precisarmos calcular o limite de uma função exponencial.
Ah, vale dizer que essa página aqui assume que você já tá entendendo da base de limites, viu? Mas não se preocupa, vou deixar aqui embaixo alguns links que podem te ajudar muito se você estiver precisando de uma revisão rapidinha. Confere também nossa lista de exercícios que já caíram em prova resolvidos passo a passo 😉
⭐ Veja também ⭐
- Introdução a Limites.
- Aulão: Tudo o que você precisa saber sobre limites.
- Lista de exercícios de prova sobre limite fundamental exponencial.
- Livro de Cálculo 1 do Stewart resolvido passo a passo.
Como usar o Limite Fundamental Exponencial?
Se nos deparamos com um limite dessa cara aqui:
Nossa ideia é transformar isso em algo do tipo:
Que é a “fórmula” do Limite Fundamental Exponencial.
Nesse vídeo aqui eu te mostro exatamente como aplicar esse carinha. Mas relaxa, se estiver gostando do textinho pode seguir comigo logo na sequência 😉👇
Bom, repare que, comparando esse limite com o de cima, o termo
Agora a gente usa essa relação lá no expoente do primeiro limite.
E também precisamos substituir o que vem ali embaixo do limite. Se liga, se
Agora, a gente joga todas as novidades no limite original:
Repara que a gente ainda não chegou em algo idêntico àquela fórmula, porque tem aquele 8 ali no expoente. Sem problemas, vamos passar ele pra fora.
Agora sim! Dá pra identificar o Limite Fundamental Exponencial ali bem na nossa cara!
Como te mostrei lá no começo, o Limite Fundamental vale
Mole mole, fácil fácil, né não? Então bora praticar mais um pouco com nossos exercícios resolvidos selecionados pra você.
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
CEFET - Cálculo 1 - P3 Romulo 2014.2 – 1 b
Calcule os limites indicados abaixo.
Passo 1
Substituindo, temos indeterminação:
Passo 2
Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:
Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:
Com isso, o termo do enunciado seria:
Resposta
Exercício Resolvido #2
PUC-RJ - Cálculo B - P4 2015.1 - 3 a
Calcule os limites:
Passo 1
Substituindo, temos indeterminação:
Passo 2
Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:
Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:
Com isso, o termo do enunciado seria:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração Própria
Determine o limite
Passo 1
Substituindo, temos indeterminação:
Passo 2
Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:
Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:
Com isso, o termo do enunciado seria:
Resposta
Exercício Resolvido #4
PUC-RJ - Cálculo B - P2 2012.2 - 1b
Seja :
Determine o valor de tal que ;
Passo 1
Substituindo, temos indeterminação:
Passo 2
Vamos calcular esse limite:
Antes de fazer esse cara se parecer com o Limite Fundamental Exponencial, temos que fazer algumas pequenas mudanças dentro dele. Em primeiro lugar, vamos dividir o termo de em cima e embaixo:
Agora, pelas propriedades dos limites, calculamos o limite do quociente como o quociente dos limites:
Repara que, nesse formato, podemos usar o Limite Fundamental Exponencialnos dois!
Passo 3
Começamos calculando o limite no numerador.
Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:
Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:
Logo, é
Com isso, o termo do enunciado seria:
Passo 4
Agora calculamos o limite do denominador.
Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:
Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:
Com isso, o termo do enunciado seria:
Passo 5
Substituindo os resultados, teremos:
Ora, se o resultado for , então
Resposta
Exercício Resolvido #5
UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2014 Quinta - 3 b
Calcule:
Passo 1
Substituindo, temos indeterminação:
Passo 2
Antes de fazer esse cara se parecer com o Limite Fundamental Exponencial, temos que fazer algumas pequenas mudanças dentro dele. Em primeiro lugar, vamos dividir o termo de em cima e embaixo:
Agora, pelas propriedades dos limites, calculamos o limite do quociente como o quociente dos limites:
Repara que, nesse formato, podemos usar o Limite Fundamental Exponencial nos dois!
Passo 3
Começamos calculando o limite no numerador.
Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:
Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:
Com isso, o termo do enunciado seria:
Passo 4
Agora calculamos o limite do denominador.
Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:
Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:
Com isso, o termo do enunciado seria:
Passo 5
Substituindo os resultados, teremos: