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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 8d

8 - Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região "triangular" limitada pela curva y   = 4 x 3 e pelas retas x = 1 e y   = 1 2 em torno:

  1. Do eixo x
  2. Do eixo y
  3. Da reta x = 2
  4. Da reta y = 4

Passo 1

Observe a imagem abaixo:

Para calcular o volume usaremos o método do anel:

V =   ∫ a b π R x 2 - r x 2 d x

Os limites de integração pelo enunciado é a = 1   e   b = 2 .

Sendo:

R x = 7 2   e   r x = 4 - 4 x 3

Passo 2

Inserindo na integral, dado pela figura os limites de integração: a = 1   e   b = 2 .

V =   ∫ 1 2 π 7 2 2 - 4 - 4 x 3 2 d x

V = π ∫ 1 2 49 4 - 16 + 32 x 3 - 16 x 6 d x = π ∫ 1 2 49 4 - 16 + 32 ⋅ x - 3 - 16 ⋅ x - 6 d x

Resolvendo os limites de integração:

π 49 4 x - 16 x + 32 ⋅ x - 3 + 1 - 3 + 1 - 16 ⋅ x - 6 + 1 - 6 + 1 1 2

π 49 4 x - 16 x - 32 ⋅ x - 2 2 + 16 ⋅ x - 5 5 1 2

π 49 4 x - 16 x - 16 ⋅ x - 2 + 16 5 x 5 1 2

π 49 4 x - 16 x - 16 x 2 + 16 5 x 5 1 2

Subsituindo com os limites:

π 49 ⋅ 2 4 - 16 ⋅ 2 - 16 2 2 + 16 5 ⋅ 2 5 - 49 ⋅ 1 4 - 16 ⋅ 1 - 16 1 2 + 16 5 ⋅ 1 5

π 49 2 - 32 - 4 + 1 10 - 49 4 + 16 + 16 - 16 5  

π 490 - 640 - 80 + 2 - 245 + 320 + 320 - 64 20

π 492 - 389 20

Resolvendo os colchetes:

π 103 20 = 103 π 20 u . v .

Resposta

103 π 20 u . v .

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