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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 53

53- Determinação do volume Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região do primeiro quadrante delimitada pelos eixos coordenados, pela curva y = e x e pela reta x = ln ⁡ 2 em torno da reta x = ln ⁡ 2 .

Passo 1

A região encontra-se somente nas regiões onde x e y são positivos que é o primeiro quadrante e o gráfico da exponencial começa em x = 0 e termina em x = ln ⁡ 2 . Onde a função e x tem valor de:

f ( ln ⁡ 2 ) = e ln ⁡ 2 = 2  

Fazendo o gráfico dessa região temos:

Passo 2

Poderíamos utilizar o método dos discos para calcular esse volume mas a integral não iria nos ajudar muito então vamos utilizar o método dos cilindros:

Cuja fórmula pode ser vista abaixo:

V = ∫ 2 π r a i o × a l t u r a × d ( e s p e s s u r a )

Que podemos escrever na equação abaixo:

V = ∫ 0 ln ⁡ 2 2 π ( ln ⁡ 2 - x )     e x   d x

Onde o raio ln ⁡ 2 - x se dá desse modo pois vamos rodar o cilindro em volta dele e precisamos englobar toda a região que vai de 0 a ln ⁡ 2 .

Passo 3

Fazendo o cálculo temos:

V = 2 π ∫ 0 ln ⁡ 2 ( e x ln ⁡ 2 - x e x ) d x

O que nos dá:

V = 2 π [ ln ⁡ 2   e x ] 0 ln ⁡ 2 - 2 π ∫ 0 ln ⁡ 2 x e x d x

Temos que fazer a integração por partes da integral que sobrou:

∫ u   d v = u v - ∫ v d u

u = x → d u = 1

d v = e x → v = e x

Substituindo temos:

∫ x e x = x e x - ∫ e x = x e x - e x

Logo:

V = 2 π [ ln ⁡ 2   e ln ⁡ 2 - l n 2   e 0 ] - 2 π [ l n 2   e l n 2   - e l n 2 - [ 0 e 0 - e 0 ]

Que nos dá:

V = 2 π [ 2 ln ⁡ 2 - l n 2 ] - 2 π [ 2 ln ⁡ 2 - 2 + 1 ]

V = 2 π l n 2 - 4 π l n 2 + 2 π

Isolando 2 π :

V = 2 π ( - ln ⁡ 2 + 1 )

Resposta

V = 2 π ( 1 - ln ⁡ 2 )

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