56- Determinação de volume Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelo eixo das abcissas e pela curva y = x * sen x , 0 ≤ x ≤ pi , em torno

  1. Da reta x = pi

Veja o gráfico do Exercício 51.

Passo 1

Gráfico do exercício 51.

Como queremos a rotação no intervalo dado e na reta x = π . Utilizando o método das cascas cilíndricas nos dá:

V = 2 π ∫ 0 π ( π - x ) x   s e n   x d x

Passo 2

Nossa integral fica:

V = 2 π ∫ 0 π π x s e n   x   d x - ∫ 0 π x 2 s e n   x   d x

Como da questão passada descobrimos que:

∫ x 2 s e n   x = - x 2 cos ⁡ x + 2 x s i n   x + 2 cos ⁡ x

Basta fazermos a integral de x s e n   x :

∫ u d v = u v - ∫ v d u

u = x → d u = d x

d v = s e n x → v = - cos ⁡ x

Logo:

∫ x s e n   x = - x c o s   x + ∫ c o s x

∫ x s e n   x = - x cos ⁡ x + sin ⁡ x

Passo 3

Como o resultado do intervalo da ultima equação deu 2 π ( π 2 - 4 ) vamos fazer somente a da nova função que é:

2 π 2 [ - x c o s   x + sin ⁡ x ]   0 π

2 π 2 [ - π cos ⁡ π + sin ⁡ π ]

2 π 2 [ π ]

Fazendo o resultado de um menos o outro temos:

2 π 2 π - ( 2 π 2 π - 8 π )

V = 8 π

Resposta

V = 8 π

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