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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 54b

54- Determinação de volume Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região do primeiro quadrante delimitada pelos eixos coordenados, pela curva y = e x e pela reta x = 1 .

  1. Em torno da reta x = 1 .

Passo 1

Agora invés de rotacionar a reta em x = 0 queremos rotacionar em x = 1 .

Passo 2

Agora nossa integral utilizando cascas cilíndricas fica:

V = 2 π ∫ 0 1 1 - x e - x d x

Dessa vez o raio começa em 1 e termina no eixo x = 0 , logo sua distância seria 1 - x .

V = 2 π ∫ 0 1 e - x - x e - x d x

A integração de x e - x :

u = x → d u = 1 d x

d v = e - x → v = - e - x

Substituindo na equação de integração por partes temos:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x e - x = - x e - x - ∫ - e - x = x e - x - e - x

Logo:

V = 2 π - e - x - - x e - x - e - x 0 1

Passo 3

Arrumando e aplicando o intervalo:

V = 2 π x e - x 0 1

V = 2 π 1 e

Resposta

V = 2 π e

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