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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 8b

Se a = 4 b no exercício 7 , temos uma hipociclóide de quatro cúspides ou astróide. (Veja um esboço da astróide na figura 1.13 . )

b) Determine a equação cartesiana da astróide a partir de suas equações paramétricas

Passo 1

Bem galera, se pegarmos a equação paramétrica:

σ θ = a cos 3 ⁡ θ ,   a sen 3 ⁡ θ ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

E lembrarmos que isso é o mesmo que dizer:

x =   a cos 3 ⁡ θ ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

y =   a sen 3 ⁡ θ ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

A gente pode tentar dar uma mexida pra fazer ficar parecido com a equação cartesiana de uma circunferência! Afinal, o hipociclóide é feito a partir de círculos, então parece uma boa ideia. Saca só então:

x =   a 3 3 cos 3 ⁡ θ =   a 1 3 ∙ 3 cos 3 ⁡ θ = a 1 3 cos ⁡ θ 3

Fazendo o mesmo com o y   temos:

y = a 1 3 sen ⁡ θ 3

Passo 2

Calma gafanhoto, isso ainda vai ficar bom. Pra parecer com o caso de uma circunferência, vamos lembrar que temos que pensar em quadrados! Afinal:

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Essa é uma ótima forma de sumirmos com o parâmetro θ e finalizar a questão. Pra isso, precisamos dar mais uma mexidinha no x :

x = a 1 3 cos ⁡ θ 3

x 1 3 = a 1 3 cos ⁡ θ

x 2 3 = a 2 3 cos 2 ⁡ θ

Fazendo a mesma coisa pra y :

y 2 3 = a 2 3 sen 2 ⁡ θ

E somando os dois:

x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 cos 2 ⁡ θ + a 2 3 sen 2 ⁡ θ

x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

x 2 3 + y 2 3 = a 2 3

Resposta

x 2 3 + y 2 3 = a 2 3

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