Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 15
Seja uma função vetorial não identicamente nula e de classe . Suponha que o vetor é paralelo a . Mostre que existe um vetor constante e uma função real positiva tal que .
Passo 1
Pra começar, bora lembrar que uma função vetorial de classe é uma função na qual é diferenciável e é contínua em todo o domínio. Show, já que é assim, como:
Já que é um vetor contante, as propriedades do vetor acabam caindo pra função! Galera, isso quer dizer que deve existir que seja real, positiva, diferenciável e cuja derivada é contínua. Será que têm? Bem, seja:
Então temos:
E a derivada fica:
Passo 2
Agora vamos lembrar que pra vetores serem paralelos, deve ser verdade que:
Logo:
Show, agora acabamos, porque se tivermos:
Temos todos os requisitos, pois a função exponencial proposta:
- É real
- É positiva
- É diferenciável em todo seu domínio
- Sua derivada é contínua
- Satisfaz para
Resposta
Uma função real positiva e um vetor constante satisfazem a condição de paralelismo do vetor de classe tal que .