Seja σ t uma função vetorial não identicamente nula e de classe C 1 . Suponha que o vetor σ t é paralelo a σ ' t . Mostre que existe um vetor constante A e uma função real positiva f t tal que σ t = Af t ,∀ t .

Uma função real positiva f t = me n t e um vetor constante A satisfazem a condição de paralelismo σ t = k σ ' t do vetor σ t de classe C 1 tal que σ t = Af t ,∀ t .

Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 15

Seja uma função vetorial não identicamente nula e de classe . Suponha que o vetor é paralelo a . Mostre que existe um vetor constante e uma função real positiva tal que .

Passo 1

Pra começar, bora lembrar que uma função vetorial de classe é uma função na qual é diferenciável e é contínua em todo o domínio. Show, já que é assim, como:

Já que é um vetor contante, as propriedades do vetor acabam caindo pra função! Galera, isso quer dizer que deve existir que seja real, positiva, diferenciável e cuja derivada é contínua. Será que têm? Bem, seja:

Então temos:

E a derivada fica:

Passo 2

Agora vamos lembrar que pra vetores serem paralelos, deve ser verdade que:

Logo:

Show, agora acabamos, porque se tivermos:

Temos todos os requisitos, pois a função exponencial proposta:

É real
É positiva
É diferenciável em todo seu domínio
Sua derivada é contínua
Satisfaz para

Resposta

Uma função real positiva e um vetor constante satisfazem a condição de paralelismo do vetor de classe tal que .

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Dê uma parametrização para cada uma das curvas.

Uma haste, presa na origem do plano x y , ocupa a posição da reta x = t y . A haste intercepta a reta y = 4 no ponto S e a elipse 4 x 2 + y - 2 2 = 4 no ponto Q . Quando t varia, o vértice P do triâng

Uma haste, presa na origem do plano x y , ocupa a posição da reta que faz um ângulo de θ radianos com o eixo positivo dos x . A haste intercepta a reta y = 2 a no ponto A e a circunferência x 2 + y -