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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 16

Seja C uma curva parametrizada por σ t = x t , y t , de modo que σ ' ' t = k   σ ' t para todo t   ∈ I R , onde k é uma constante real.

  1. Determine as possíveis formas de x t e y t
  2. Que tipo de curva é C

Passo 1

Vamo trabalhar com o que temos, beleza? Pra começar, precisamos pegar a curva e derivar:

σ t = x t , y t

σ ' t = x ' t , y ' t

σ ' ' t = x ' ' t , y ' ' t

Como:

σ ' ' t = k   σ ' t

Temos então:

x ' ' t , y ' ' t = k   x ' t , y ' t

x ' ' t = k x ' t y ' ' t = k y ' t

x ' ' t - k x ' t = 0 y ' ' t - k y ' t = 0

Galera, temos ai um sistema de EDO’s de segunda ordem homogêneas! Como elas tem exatamente a mesma cara pra x e pra y , as formas possíveis serão iguais pros dois, ok? Vamos fazer só x então.

Passo 2

Pra resolver essa EDO, vamos construir o polinômio característico:

x ' ' - k x ' = 0

r 2 - k r = 0

Resolvendo:

r r - k = 0

r 1 = 0 r 2 = k

Caimos no caso em que temos duas raízes reais distintas! A solução toma a forma então de:

x t = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

x t = C 1 e 0 + C 2 e k t

x t = C 1 + C 2 e k t

Analogamente, pra y , temos:

y t = C 3 + C 4 e k t

Passo 3

Beleza, vamos fechar então fazendo o seguinte: nos livrando do parâmetro t . Assim a gente responde a letra b e descobre que tip ode curva C nós temos:

x = C 1 + C 2 e k t

x - C 1 = C 2 e k t

x - C 1 C 2 = e k t

ln ⁡ x - C 1 C 2 = ln ⁡ e k t

ln ⁡ x - C 1 C 2 = k t

ln ⁡ x - C 1 C 2 k = t

Jogando na expressão de y t temos:

y t = C 3 + C 4 e k t

y x = C 3 + C 4 e k ln ⁡ x - C 1 C 2 k

y = C 3 + C 4 e ln ⁡ x - C 1 C 2

y = C 3 + C 4 x - C 1 C 2

O que ajeitando assim, fica com cara de uma reta:

y = C 3 + C 4 x - C 4 C 1 C 2

y = C 3 C 2 C 2 + C 4 x - C 4 C 1 C 2

y = C 4 C 2 x + C 3 C 2 - C 4 C 1 C 2

Resposta

  1. x t =   C 1 + C 2 e k t y t = C 3 + C 4 e k t
  2. Uma reta. y = C 4 C 2 x + C 3 C 2 - C 4 C 1 C 2
  • Onde C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , k são constantes reais
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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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