Enunciado

A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial

- y ' ' = f x

pode ser escrita na forma

y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s

Em que c 1 e c 2 são constantes arbitrárias.

B. Suponha que y   = ϕ ( x ) também satisfaz as condições de contorno   y ( 0 )   =   0 , y ( 1 )   =   0 . Mostre que, nesse caso,

c 1 = 0 ,             c 2 = ∫ 0 1 1 - s f s d s

C. Mostre que, sob as condições dos itens (a) e (b), ϕ ( x ) pode ser escrita na forma

ϕ x = ∫ 0 x s s - 1 f s d s + ∫ x 1 x 1 - s f s d s

D. Definindo

G x ,   s = s 1 - x ,           0 ≤ s ≤ x ,   x 1 - s ,           x ≤ s ≤ 1 ,

Mostre que a solução pode ser escrita na forma

ϕ x = ∫ 0 1 G x ,   s f s d s

Passo 1

L e t r a   A :

Ora bolas, sabemos que essa é uma equação de segunda ordem não homogênea que multiplicando por - 1 dos dois lados teremos:

y ' ' = - f x

A solução geral pelo método pedido, a variação de parâmetros é dada pela soma da homogênea com a particular:

y = y p + y h

Onde a homogênea é a solução da EDO:

y ' ' = 0

E a particular pode ser encontrada fazendo:

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2

Onde f 1 e f 2 não são f x , tá?! f 1 e f 2 são funções que são calculadas assim:

f 1 = ∫ y 2 B x M d x

f 2 = ∫ - y 1 B x M d x

M por sua vez, de acordo variação de parâmetros, é o wronskiano das soluções da homogênea:

M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2

B x nesse caso representa a função que torna a EDO não homogênea, o seja? B x = - f x .

Passo 2

Primeiro devemos então determinar a solução da homogênea:

- y ' ' = f x

y ' ' = 0       →

y h = c 1 + c 2 x    

Com essa solução em mente, as soluções fundamentais y 1 e y 2 que a gente viu ali no passo 1 são então retiradas da solução y h :

y 1 = 1         e             y 2 = x

Com isso podemos partir buscando quem são essas funções f 1 e f 2 do método, saca?

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2 →

y p = f 1 + f 2 x

Vamos nessa?

Passo 3

Como vimos, f 1 pode ser obtido:

f 1 = ∫ y 2 B x M d x   →

f 1 = ∫ x - f x M d x  

M Por sua vez...

M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2 = y 1 ' y 2 - y 2 ' y 1 =

- 1

Isso nos dá f 1 como:

f 1 = ∫ x f x d x

Agora vamos obter f 2 de modo semelhante:

f 2 = ∫ - y 1 B x M d x →

f 2 = ∫ - f x d x

SHOW! Como a solução particular é dada por:

y p = f 1 + f 2 x   →

Substituindo...

y p = ∫ x f x d x + x ∫ - f x d x         →

Agora que vem o truque legal, essas integrais em x , podem ser calculadas de 0 a x de modo que ficamos então livres para escolher outro nome para a variável de integração

y p = ∫ 0 x s f s d s + x ∫ 0 x - f s d s         →

Que nem aí, estamos escolhendo s . Repare que de fato, ao integrar e depois substituir o limite, vamos obter uma função em x de novo, como se tivéssemos calculando a derivada em x normal . Então, agora podemos passar o x para dentro da integral, pois ele é “constante” perante a variável de integração em s :

y p = ∫ 0 x s f s d s + ∫ 0 x - x f s d s         →

y p = ∫ 0 x - ( x - s ) f s d s

Logo, a solução final dessa EDO é de fato:

y = y h + y p   →

y = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s

Resposta

Questão de demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução estado estacionário da equação do calor α 2 u x x = u t que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno. u ( 0 , t ) = T ,u x ( L ,t ) +u (
Considere uma barra uniforme de comprimento L a uma temperatura inicial dada por u ( x , 0 ) = s i n ( π x / L ) ,0 ≤ x ≤ L . Suponha que ambas as extremidades estão isoladas.Encontre a temperatura u(
Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução estado estacionário da equação do calor α 2 u x x = u t que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno. u x ( 0 , t ) = 0 ,u ( L , t ) = T
Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução estado estacionário da equação do calor α 2 u x x = u t que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno. u ( 0 , t ) = T ,u x ( L , t ) = 0
Considere uma barra com 30 cm de comprimento para a qual α 2 = 1 . Suponha que a distribuição inicial de temperatura é dada por u(x, 0) = x(60 – x)/30 e que as condições de contorno são u(0, t) = 30 e