Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 28a
A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial
pode ser escrita na forma
Em que e são constantes arbitrárias.
B. Suponha que também satisfaz as condições de contorno, . Mostre que, nesse caso,
C. Mostre que, sob as condições dos itens (a) e (b), pode ser escrita na forma
D. Definindo
Mostre que a solução pode ser escrita na forma
Passo 1
Ora bolas, sabemos que essa é uma equação de segunda ordem não homogênea que multiplicando por dos dois lados teremos:
A solução geral pelo método pedido, a variação de parâmetros é dada pela soma da homogênea com a particular:
Onde a homogênea é a solução da EDO:
E a particular pode ser encontrada fazendo:
Onde e não são , tá?! e são funções que são calculadas assim:
por sua vez, de acordo variação de parâmetros, é o wronskiano das soluções da homogênea:
nesse caso representa a função que torna a EDO não homogênea, o seja? .
Passo 2
Primeiro devemos então determinar a solução da homogênea:
Com essa solução em mente, as soluções fundamentais e que a gente viu ali no passo são então retiradas da solução :
Com isso podemos partir buscando quem são essas funções e do método, saca?
Vamos nessa?
Passo 3
Como vimos, pode ser obtido:
Por sua vez...
Isso nos dá como:
Agora vamos obter de modo semelhante:
SHOW! Como a solução particular é dada por:
Substituindo...
Agora que vem o truque legal, essas integrais em , podem ser calculadas de a de modo que ficamos então livres para escolher outro nome para a variável de integração
Que nem aí, estamos escolhendo . Repare que de fato, ao integrar e depois substituir o limite, vamos obter uma função em de novo, como se tivéssemos calculando a derivada em normal . Então, agora podemos passar o para dentro da integral, pois ele é “constante” perante a variável de integração em :
Logo, a solução final dessa EDO é de fato:
Resposta
Questão de demonstração.