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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.6 - Ex. 11

Considere uma barra com 30 cm de comprimento para a qual α 2 = 1 . Suponha que a distribuição inicial de temperatura é dada por u(x, 0) = x(60 – x)/30 e que as condições de contorno são u(0, t) = 30 e u(30, t) = 0.

  1. Encontre a temperatura na barra em função da posição e do tempo.
  2. Faça o gráfico de u em função de x para diversos valores de t. Faça, também, o gráfico de u em função de t para diversos valores de x.
  3. Faça o gráfico de u em função de t para x = 12. Note que u inicialmente diminui, depois cresce por um tempo e, finalmente, diminui para alcançar seu valor no estado estacionário. Explique, fisicamente, por que esse comportamento ocorre nesse ponto.

Passo 1

O problema é:

u x x = u t ,   0 < x < 30 ,   t > 0

u ( 0 , t ) = 30 ,   t > 0

u ( 30 , t ) = 0 ,   t > 0

u ( x , 0 ) = x ( 60 - x ) 30 ,   0 < x < 30

Temos L = 20 :

A solução é dada pelas fórmulas 16 e 17 na página 634:

u ( t , x ) = ( T 2 - T 1 ) x L + T 1 + ∑ n = 1 ∞ c n e - n ² π ² α ² t L ² s e n ( n π x L )

c n = 2 L ∫ 0 L [ f ( x ) - ( T 2 - T 1 ) x L - T 1 ]   s e n ( n π x L ) d x

Passo 2

Temos L = 30 ,   α ² = 1 ,   f ( x ) = x ( 60 - x ) 30 ,   u ( 0 , t ) = T 1 = 30 ,   u ( L , t ) = T 2 = 0

Queremos c n :

c n = 60 n ³ π ³ [ 2 ( 1 - c o s ( n π ) ) - n ² π ² ( 1 + c o s ( n π ) ) ]

Substituímos e achamos:

u ( t , x ) = 30 - x + ∑ n = 1 ∞ 60 n ³ π ³ [ 2 ( 1 - c o s ( n π ) ) - n ² π ² ( 1 + c o s ( n π ) ) ] e n ² π ² t 900 s e n ( n π x 30 )

Passo 3

Na letra b:

u versus t, para x=5,15, 20:

u versus x, para t=1,30,60:

Passo 4

Na letra c:

u versus t para x=12. Podemos ver que u decresce, depois cresce um pouco, e finalmente decresce até chegar a um valor constante. Quando x=12, u começa a partir de u ( 12,0 ) = 12 ( 60 - 12 ) 30 = 19.2 e tende para 30 - 12 = 18 .

Fisicamente, u começa a tender para 18, mas o sistema começa a esquentar, e então u cresce e depois decresce novamente tendendo para 18.

Resposta

  1. u ( t , x ) = 30 - x + ∑ n = 1 ∞ 60 n ³ π ³ [ 2 ( 1 - c o s ( n π ) ) - n ² π ² ( 1 + c o s ( n π ) ) ] e n ² π ² t 900 s e n ( n π x 30 )

  3. u versus t para x=12. Podemos ver que u decresce, depois cresce um pouco, e finalmente decresce até chegar a um valor constante. Quando x=12, u começa a partir de u ( 12,0 ) = 12 ( 60 - 12 ) 30 = 19.2 e tende para 30 - 12 = 18 .

Fisicamente, u começa a tender para 18, mas o sistema começa a esquentar, e então u cresce e depois decresce novamente tendendo para 18.

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