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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.6 - Ex. 12

Considere uma barra uniforme de comprimento L a uma temperatura inicial dada por u ( x , 0 ) = s i n ( π x / L ) ,   0 ≤ x ≤ L . Suponha que ambas as extremidades estão isoladas.

  1. Encontre a temperatura u(x, t).
  2. Qual é a temperatura no estado estacionário, quando t → ∞ ?
  3. Sejam α 2 = 1 e L = 40 . Faça o gráfico de u em função de x para diversos valores de t. Faça, também, o gráfico de u em função de t para diversos valores de x.
  4. Descreva em poucas palavras como a temperatura na barra varia com o passar do tempo.

Passo 1

Temos:

u ( x , 0 ) = s e n ( π x L ) ,   0   ≤   x   ≤   L

E a solução é dada pelas fórmulas 35 e 37 na página 637:

u ( x , t ) = c 0 2 + ∑ n = 1 ∞ c n e - n ² π ² α ² t L ² c o s ( n π x L )

c n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) c o s ( n π x L )

Passo 2

Temos:

c 0 = 2 L ∫ 0 L s e n ( π x L ) d x = 4 π

e queremos achar c n :

c n = 0 ,   n   é   í m p a r

- 4 ( n ² - 1 ) π ,   n   é   p a r

Substituímos e achamos:

u ( x , t ) = 2 π + ∑ n = 1 ∞ c n e - n ² π ² α ² t L ² c o s ( n π x L )  

Passo 3

Na letra b:

t ⇒ ∞ ,   e - n ² π ² α ² t L ² ⇒ 0 , então a temperatura em estado permanente é 2 π

Passo 4

Na letra c:

u versus t para x=5,20,30:

u versus x, para t=1,20,100:

Passo 5

Na letra d:

Podemos ver que a solução começa como um seno e suaviza até o estado permanente, que é a constante 2 π

Resposta

  1. u ( x , t ) = 2 π + ∑ n = 1 ∞ c n e - n ² π ² α ² t L ² c o s ( n π x L )  
  2. t ⇒ ∞ ,   e - n ² π ² α ² t L ² ⇒ 0 , então a temperatura em estado permanente é 2 π

  4. Podemos ver que a solução começa como um seno e suaviza até o estado permanente, que é a constante 2 π
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