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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 60

( a ) Use um recurso gráfico computacional para gerar um campo de direções da equação diferencial d y / d x = e x / 2   na região - 1 ≤ x ≤ 4 e - 1 ≤ y ≤ 4 .

( b ) Esboce algumas curvas integrais representativas da função f x = e x / 2 .

( c ) Encontre uma equação para a curva integral que passa pelo ponto ( 0 ,   1 ) .

Passo 1

Bom galera, vamos começar gerando um campo de direções para a equação diferencial d y / d x = e x / 2 :

Passo 2

Agora, esboçamos o gráfico de algumas curvas integrais para a função f x = e x / 2 , lembrando que a integração vai gerar uma constante de desconhecida que muda a altura da função:

Passo 3

Por fim, a gente usa o problema de valor inicial para a integral de x :

∫ e x 2   d x = e x 2 + C

Agora olhamos testamos qual o valor de C para que a função passe pelo ponto ( 0 ,   1 ) :

f 0 = 1 = e ( 0 ) 2 + C

→ C = 1 2

Logo, a função fica:

f x = e x 2 + 1 2

Resposta

f x = e x 2 + 1 2

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