Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.6 - Ex. 10
10. Deduza as seguintes Leis dos Logaritimos a partir de (15):
a)
b)
c)
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão pede pra gente deduzir as seguintes leis dos logaritimos
a)
b)
c)
E para isso, vamos definir dois logaritimos para nos ajudar:
e
então pela definição do logaritimo a gente sabe que:
e
Beleza agora podemos começar as deduções, vamos tentar pegar as expressões que estão dentro dos logaritimos e começar a mecher nelas.
Passo 2
(a)
Bom, das equações que nós definimos podemos escrever que:
E usando a Primeira Lei dos Expoentes:
Se nós aplicarmos o logaritimo nessa igualdade vamos ter que:
E usando os logaritimos que nós definimos temos o que queríamos:
Passo 3
(b)
Usando nossas equações vamos escrever:
E da Segunda Lei dos Expoentes:
Aplicando o conceito de logaritimo:
E usando nossas equações:
Passo 4
(c)
A ultima expressão tem dentro do log, então vamos partir daqui, a gente pode substituir o dessa maneira:
E da Terceira Leis dos Expoentes temos:
Aplicando o logaritimo nessa igualdade:
E nós podemos substituir aquele , por :
Protinho deduzimos as três Leis dos Logaritimos pedidas.
Resposta
Demonstração.