Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.9 - Ex. 10
10. Um balão esférico está sendo inflado de tal forma que seu volume aumente a uma taxa de 5. Qual a taxa de crescimento do diâmetro quando ele mede ?
Passo 1
Bora lá galera! Pra começar, vamos assumir o seguinte: nosso balão esférico continua esférico enquanto enche:
Agora bora interpretar o enunciado. Ele diz que o balão enche a uma taxa constante. Seja o volume dele e a derivada no tempo a expressão dessa taxa, isso é o mesmo que dizer que:
Só que nota o seguinte galera, o volume de uma esfera tem uma fórmula bem conhecida:
Hummm.. só um pequeno detalhe, em nenhum momento a questão falou de raio, teremos que relacionar o raio com o diâmetro:
Agora sim, substituindo na fórmula do volume:
Arrumando os termos:
E derivando em relação ao tempo, usando a regra da cadeia:
E olha só! Conseguimos relacionar as taxas e encontrar uma fórmula com o que a questão pede, que é a taxa de crescimento do diâmetro ().
Passo 2
Beleza, daqui podemos mexer um pouco na fórmula pra explicitar a taxa que queremos:
Show de bola, mas e agora? Bem galera, como queremos a taxa em determinado instante específico, podemos entender essa fórmula como:
E olha só! Mesmo a gente não sabendo quando é esse instante, sabemos que nele o diâmetro quando ele mede ! Então sabemos que:
E logo a taxa nesse instante é:
Não se esqueça das unidades de medida em!