Derretimento de uma camada de gelo Uma bola de ferro esférica com 8 pol de diâmetro está coberta por uma camada de gelo de espessura uniforme. Se o gelo derrete a uma taxa de 10 pol3/min, a que taxa a espessura do gelo diminuirá quando tiver 2 pol? A que taxa a área da superfície externa do gelo diminuirá

Passo 1

A grande sacada dessa questão vem de chamar a espessura de gelo mais o raio dado da esfera de um raio qualquer r uma vez que a espessura é constante em torno de toda a esfera, o que deixa o volume da espessura de gelo da seguinte forma:

V = 4 3 π r 3 - 4 3 π 4 3   [ i n 3 ]

E a área da superfície fica da seguinte forma:

S = 4 π r 2

Passo 2

Derivando a equação do volume temos:

d V d t = 4   π r 2 d r d t

Para r = espessura de gelo + raio da esfera de ferro

Como se quer a taxa de derretimento d r d t para espessura de gelo=2 in, logo r =6 in

- 10 i n 3 m i n = 4 π × 36   i n 2 × d r d t

Logo temos:

d r d t = - 5 72   π   p o l m i n

O sinal negativo significa que ela diminuiu

Passo 3

Agora calculando a variação da superfície externa da película de gelo temos:

S = 4 π r 2

d S d t = 8   π r d r d t

Como calculamos d r d t e r da questão passada, só precisamos substituir.

d S d t = 8 π × 6 i n ×   - 5 72 π p o l m i n = - 10 3   p o l 2 m i n

Resposta

d r d t = - 5 72 π p o l m i n

d S d t = - 10 3   p o l 2 m i n

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