Enunciado

10 - Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela parábola y 2   =   4 x e pela reta y   =   x em torno:

  1. Do eixo x
  2. Do eixo y
  3. Da reta x = 4
  4. Da reta y = 4

Passo 1

Observe a imagem abaixo:

Observamos que na imagem que tanto para o eixo x, como para o eixo y, os limites de integração serão: a = 0   e   b = 4

Para calcular o volume usaremos o método da casca:

V =   ∫ a b 2 π r a i o ⋅ a l t u r a d x

Primeiramente se observarmos na imagem os pontos para o eixo y, são 4 e 0, estes será nosso limites de integração.

Primeiramente achar f x

y 2 = 4 x → y =   4 x ⇒ 2 x   |   y = x  

Sendo:

r a i o = x     e   a l t u r a = 2 x - x

Passo 2

Inserindo na integral, dado pela figura os limites de integração: a = 0   e   b = 4 .

V = 2 π ∫ 0 4 x 2 x - x d x

V = 2 π ∫ 0 4 2 x 3 2 - x 2   d x

Resolvendo os limites de integração:

2 π 2 x 5 2 5 2 - x 3 3 0 4

2 π 4 x 5 5 - x 3 3 0 4

Subsituindo com os limites:

2 π 4 4 5 5 - 4 3 3 - 0

2 π 4 ⋅ 2 5 5 - 64 3

2 π 128 5 - 64 3

Resolvendo os colchetes:

2 π 384 - 320 15 = 2 π 64 15 = 128 π 15   u . v .

Resposta

128 π 15   u . v .

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