Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 16
Uma esfera de raio 10 cm é interceptada por dois planos paralelos do mesmo lado do centro da esfera. A distância do centro da esfera a um dos planos é 1 cm e a distância entre os planos é 6 cm. Ache o volume da porção sólida da esfera entre os dois planos.
Passo 1
Vamos sempre pensar numa esfera como a parte interna da circunferência rotacionada em torno de algum dos eixos, isso vai nos ajudar a visualizar melhor! Ver em é muito melhor do que em !
Não sabia da informação que falei? Agora já sabe, não da mole nisso!
Para efeito de facilitar o nosso trabalho iremos admitir o centro da circunferência e consequentemente da esfera no seu centro, então a equação dessa circunferência de raio será isso aqui ó:
Isolaremos o , pois vamos fazer a circunferência rotacionar no eixo .
Passo 2
Lembra quais os limites de integração, aqueles números pequenos em cima da integral. Então para calcularmos o volume da esfera, utilizaríamos o intervalo de a , em que é o raio e faríamos a integral abaixo:
Na nossa questão seria de , mas tem dois planos paralelos do mesmo lado do centro que cortam essa esfera. E agora?? Calma! Faremos um esboço do desenho!
Informação importante é que estão do mesmo lado em relação ao centro!
Obs: Imagem meramente ilustrativa, tipo hambúrguer de lanchonete, não está nas abscissas certinhas!
Passo 3
Falamos la no início que iríamos considera o centro como . Ora! Como o centro e o primeiro plano estão do mesmo lado e possuem uma distância igual a 1. Podemos afirmar que o primeiro plano possui abscissa igual a 1.
Já o segundo plano tem uma distância de , mas de quem?? Da circunferência ou do outro plano? Aaaa, já matou né! É do outro plano então tem abscissa de 7, pois é a abscissa do primeiro plano mais a distância!
Agora vamos partir para a integral! Com o limite de integração de a hein!