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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 10

10. Encontrar o trabalho de uma força variável dirigida à origem das coordenadas, cuja grandeza é proporcional ao afastamento do ponto em relação a origem das coordenadas, se o ponto de aplicação dessa força, descreve no sentido anti-horário, a parte da elipse x 2 4 + y 2 16 = 1 no 1 °   quadrante.

Passo 1

Bom! Vamos pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

∫ C f → x , y d r →

E a nossa força f → x , y , como sabemos que é proporcional ao afastamento do ponto em relação a origem das coordenadas; é dada por:

f → x , y = ( - k x , - k y )

Onde k é uma constante de proporcionalidade. E você deve estar se perguntando. Por que a força tem componentes negativos?

É simples! A força está dirigida à origem das coordenadas. Por isso, devemos inverter os sinais, já que aponta no sentido oposto ao que seria o sentido positivo de nosso referencial.

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa. Bora tratar de parametrizar a curva C , que é dada por:

x 2 4 + y 2 16 = 1

E então, vamos tentar trabalhar um pouco mais em cima dessa expressão. Bora dividir tudo por 16 :

x 2 4 + y 2 16 = 1

x 2 2 2 + y 2 4 2 = 1

Isso aí é uma elipse de centro na origem e mais achatadinha em y , por ( 4 > 2 ) .

Agora, como sabemos que nossa curva é uma elipse, vamos nos lembrar do jeito pelo qual as elipses, com o formato x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1   são parametrizadas:

x = a ⋅ cos ⁡ t

y = b ⋅ sen ⁡ t

Como a = 2 e b = 4 no nosso caso, então...

x = 2 cos ⁡ t

y = 4 sen ⁡ t

Logo. Uma boa parametrização é:

γ t = ( 2 cos ⁡ t , 4 sen ⁡ t )

Passo 2

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Olha só! A nossa função é dada por:

f → x , y = - k x , - k y

E para fazer a troca na função para os termos parametrizados, basta realizar a substituição no x , y com os valores que temos lá do P a s s o   1 :

f → x , y = - k x , - k y

f → x , y = - 2 k cos ⁡ t , - 4 k sen ⁡ t

f → x , y = - 2 k cos ⁡ t , - 4 k sen ⁡ t

Pronto! Já temos uma função inteira em termos de t .

Passo 3

O passo número três consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = γ ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de r → t . Vamos lá:

γ ' t = ( - 2 sen ⁡ t ,   4 cos ⁡ t )

Passo 4

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C f → x , y d r → = ∫ t 1 t 2 f → x , y d r →

Pera! Mas quais são esses limites de integração?

Presta atenção! O enunciado nos diz que a trajetória é descrita no sentido anti-horário, no 1 °   quadrante.

Ou seja, o nosso limite de integração vai de 0 até π / 2 :

∫ 0 π / 2 f → x , y d r → =

= ∫ 0 π / 2 - 2 k cos ⁡ t , - 4 k sen ⁡ t ∙ ( - 2 sen ⁡ t ,   4 cos ⁡ t ) d t =

= ∫ 0 π / 2 4 k   s e n   t cos ⁡ t - 16 k   s e n   t cos ⁡ t d t = ∫ 0 π / 2 - 12 k   s e n   t cos ⁡ t d t =

= ∫ 0 π / 2 - 6 k   s e n   2 t d t = 3 k cos ⁡ 2 t 0 π / 2 =

= 3 k ( cos ⁡ π - ( cos ⁡ 0 ) ) = - 6 k

Resposta

T r a b a l h o   R e a l i z a d o = - 6 k

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