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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 15

Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial f → ao longo da curva C dada.

15. f → x , y , z = ( x ,   y , z ) ; C é a interseção das superfícies x 2 + y 2 - 2 y = 0 e z = y orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Bom! Vamos pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

∫ C f → x , y , z d r →

E a nossa força f → x , y , z é dada por:

f → x , y , z = ( x ,   y , z )

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa.

Primeiro vamos esboçar a nossa curva para entender o que está acontecendo... Temos um cilindro deslocado no eixo y e um plano:

Como sabemos, devemos parametrizar C . Repara que a projeção da nossa curva no plano x y é a circunferência de mesma equação que o cilindro:

x 2 + y 2 - 2 y = 0

x 2 + ( y - 1 ) 2 = 1

E dado que:

c o s 2   t + s e n 2   t = 1

Temos que a parametrização da projeção de C no plano x y é dada, em coordenadas polares deslocadas, por:

cos ⁡ t , sen ⁡ t + 1

Show!!! Mas C é uma curva de três dimensões. Tá faltando a coordenada z que é dada pela equação do plano:

z = y

z = sen ⁡ t + 1

A nossa parametrização, então; vai ficar assim:

γ t = ( cos ⁡ t , sen ⁡ t + 1 ,   sen ⁡ t + 1 )

Onde 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 2

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Onde temos que:

f → x , y , z = ( x ,   y , z )

Assim, bora tratar de fazer a troca:

f → x , y , z = ( x ,   y , z )

f → x , y , z = ( cos ⁡ t , sen ⁡ t + 1 ,   sen ⁡ t + 1 )

Passo 3

Seguindo nosso raciocínio. O passo número três consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = γ ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de γ t . Vamos lá:

γ ' t = ( - sen ⁡ t , cos ⁡ t , cos ⁡ t )

Passo 4

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C f → x , y , z d r → = ∫ t 1 t 2 f → x , y , z d r →

Pera! Mas quais são os limites de integração?

Ora bolas! Já obtemos no P a s s o   1 que 0 ≤ t ≤ 2 π . Nosso limite de integração vai de 0 até 2 π , portanto:

∫ 0 2 π f → x , y d r → = ∫ 0 2 π cos ⁡ t , sen ⁡ t + 1 ,   sen ⁡ t + 1 ∙ - sen ⁡ t , cos ⁡ t , cos ⁡ t d t =

= ∫ 0 2 π - s e n   t ⋅ cos ⁡ t + s e n   t ⋅ cos ⁡ t + cos ⁡ t + cos ⁡ t ⋅ s e n   t + cos ⁡ t d t =

= ∫ 0 2 π cos ⁡ t + cos ⁡ t ⋅ s e n   t + cos ⁡ t d t =

= ∫ 0 2 π 2 cos ⁡ t + s e n   2 t 2 d t =

= 2   s e n   t - cos ⁡ 2 t 4 0 2 π = 2   s e n   2 π - cos ⁡ 4 π 4 - 2   s e n   0 + cos ⁡ 0 4 =

= 0

Resposta

0

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