Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 102
102. a) Quantas derivadas parciais de -ésima ordem têm uma função de duas variáveis?
b) Se essas derivadas parciais forem contínuas, quantas delas podem ser distintas?
c) Responda a parte a) da questão para uma função de três variáveis.
Passo 1
a) Então galera, se estivermos derivando a função vezes, então existem duas possíveis escolhas de variável a cada derivação (uma vez que, de acordo com o enunciado, a função possui 2 variáveis). Sendo assim, isso nos dá derivadas de -ésima ordem possíveis.
Passo 2
b) Pelo Teorema de Clairaut, temos que se as derivadas forem contínuas, então a ordem da diferenciação não importa, saca só:
Dessa forma, temos que todas as derivadas de -ésima ordem que são derivadas vezes em relação a e vezes em relação a são completamente iguais! Sendo assim, já que varia de a , então teremos derivadas distintas!
Passo 3
c) Utilizando o mesmo raciocínio da letra a), para três variáveis teremos agora três possíveis escolhas de variável a cada derivação. Sendo assim, isso nos dá derivadas de -ésima ordem possíveis.
Resposta
a)
b)
c)