Mostre que as funções nos Exercícios 81-87 são todas soluções da equação de onda.

Passo 1

Calcule todas as primeiras derivadas parciais.

∂ w ∂ t = ∂ ∂ t [ l n ⁡ ( 2 x + 2 c t ) ] = 1 2 x + 2 c t ⋅ 2 c = 2 c 2 ( x + c t ) = c x + c t ∂ w ∂ x = ∂ ∂ x [ l n ⁡ ( 2 x + 2 c t ) ] = 1 2 x + 2 c t ⋅ 2 = 2 2 ( x + c t ) = ∂ ∂ t c x + c t = ( x + c t ) ( 0 ) - c ( c ) ( x + c t ) 2 = ∂ ∂ t ∂ w ∂ t 1 x + c t ∂ 2 w ∂ t = - c 2 ( x + c t ) 2

Passo 2

c 2 ∂ 2 w ∂ x 2 = c 2 ∂ ∂ x ∂ w ∂ x = c 2 ∂ ∂ x 1 x + c t = c 2 ( x + c t ) ( 0 ) - 1 ( 1 ) ( x + c t ) 2 = - c 2 ( x + c t ) 2

Eles são iguais, então a equação da onda é satisfeita

Resposta

A equação da onda é satisfeita. Veja a explicação.

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrea. ∂w/∂x|y b. ∂w/∂z|_y no ponto (x, y, z) = (0,1, pi) sew = x² + y² + z² e y * sen(z) + z * sen(x) = 0
Nos Exercícios 1-3, comece desenhando um diagrama que mostreas relações entre as variáveis.Se w = x^2 + y^2 + z^2 e z = x^2 + y^2 , encontrea. ∂w/∂y_z b. ∂w/∂z_x c. ∂w/∂z|y .
Encontre (∂u/∂y)_{x} no ponto (u, v) = (raiz(2), 1) , se x = u^2 + v^2 * e y = u * v .
Se (x, y) se move de (x0, y0) a um ponto (x0 + dx, y0 + dy) próximo, como você pode estimar a variação resultante no valor deuma função diferenciável ƒ(x, y)? Dê um exemplo.
Se w = f(x, y, z) , onde as variáveis x, y e z são condicionadas por uma equação g(x, y, z) = 0 , qual é o significado da notação ∂w/∂x|y ? Como um diagrama de setas pode ajudar você a calcular essa d