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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 84

Mostre que as funções nos Exercícios 81-87 são todas soluções da equação de onda.

Passo 1

Calcule todas as primeiras derivadas parciais.

∂ w ∂ t = ∂ ∂ t [ l n ⁡ ( 2 x + 2 c t ) ] = 1 2 x + 2 c t ⋅ 2 c = 2 c 2 ( x + c t ) = c x + c t ∂ w ∂ x = ∂ ∂ x [ l n ⁡ ( 2 x + 2 c t ) ] = 1 2 x + 2 c t ⋅ 2 = 2 2 ( x + c t ) = ∂ ∂ t c x + c t = ( x + c t ) ( 0 ) - c ( c ) ( x + c t ) 2 = ∂ ∂ t ∂ w ∂ t 1 x + c t ∂ 2 w ∂ t = - c 2 ( x + c t ) 2

Passo 2

c 2 ∂ 2 w ∂ x 2 = c 2 ∂ ∂ x ∂ w ∂ x = c 2 ∂ ∂ x 1 x + c t = c 2 ( x + c t ) ( 0 ) - 1 ( 1 ) ( x + c t ) 2 = - c 2 ( x + c t ) 2

Eles são iguais, então a equação da onda é satisfeita

Resposta

A equação da onda é satisfeita. Veja a explicação.

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrea. ((del w)/(del x))_y b. ((del w)/(del z))_y no ponto ( x , y , z ) = ( 0,1 , pi ) sew = x^2 + y^2 + z^2 e y s e n z + z s e n x = 0
Nos Exercícios 1-3, comece desenhando um diagrama que mostreas relações entre as variáveis.Se w = x 2 + y 2 + z 2 e z = x 2 + y 2 , encontrea. ∂ w ∂ y z b. ∂ w ∂ z x c. ∂ w ∂ z y .
Encontre ( del u // del y )_x no ponto ( u , v ) = ( sqrt(2) , 1 ) , se x = u^2 + v^2 e y = u v .
Se (x, y) se move de (x0, y0) a um ponto (x0 + dx, y0 + dy) próximo, como você pode estimar a variação resultante no valor deuma função diferenciável ƒ(x, y)? Dê um exemplo.
Se w = f ( x , y , z ) , onde as variáveis x , y e z são condicionadas por uma equação g ( x , y , z ) = 0 , qual é o significado da notação ( ∂ w / ∂ x ) y ? Como um diagrama de setas pode ajudar voc