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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 93

No projeto da página 344, expressamos a potência necessária para uma ave durante seu modo de agitar como:

P v ,   x ,   m = A v 3 + B ⋅ m g x 2 v

onde A e B são constantes específicas de uma espécie de pássaro, v é a velocidade do pássaro, m é a massa do pássaro e x é a fração do tempo de vôo gasto no modo de agitar. Calcule ∂ P ∂ v ,   ∂ P ∂ x e ∂ P ∂ m e interprete-os.

Passo 1

Eaee, tranquilo?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função de três variáveis, que trata-se da potência P necessária para uma ave durante seu modo de agita:

P v ,   x ,   m = A v 3 + B ⋅ m g x 2 v

Onde A e B são constantes específicas de uma espécie de pássaro, v é a velocidade do pássaro, m é a massa do pássaro e x é a fração do tempo de vôo gasto no modo de agitar.

Queremos calcular as seguintes derivadas parciais e interpretá-las:

∂ P ∂ v

  ∂ P ∂ x

∂ P ∂ m

Lebrando que para resolver uma derivada parcial, devemos escolher a variável em relação à qual deseja derivar e tratar todas as outras variáveis como constantes.

Ahh... lembre-se que a Regra da Potência é dada por:

d d x x n = n x n - 1

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Antes de começarmos as derivações, vamos reescrever essa função P de outra forma, se liga:

P v ,   x ,   m = A v 3 + B ⋅ m g 2 v x ²

Agora que já escrevemos P em um formato interessante, vamos realizar a primeira derivada utilizando a regra da soma:

∂ P ∂ v = ∂ ∂ v A v 3 + ∂ ∂ v B ⋅ m g 2 v x 2

Colocando as constantes para fora, obtemos:

∂ P ∂ v = A ∂ ∂ v v 3 + B ⋅ m g 2 v ∂ ∂ v 1 v

Aplicando a regra da potência, obtemos:

∂ P ∂ v = 3 a v 2 - B ⋅ m g 2 v ² x ²

Passo 3

Realizando a segunda derivada, pela regra da soma, temos:

∂ P ∂ x = ∂ ∂ x A v 3 + ∂ ∂ x B ⋅ m g 2 v x 2

A derivada do primeiro termo é zero pois trata-se de uma constante. Já no segundo termo vamos colocar as constantes para fora da derivada:

∂ P ∂ x = 0 + B ⋅ m g 2 v ∂ ∂ x 1 x 2

Aplicando a regra da potência, obtemos:

∂ P ∂ x = - 2 B ⋅ m g 2 v x 3

Passo 4

Realizando a terceira e última derivada, pela Regra da Soma, obtemos:

∂ P ∂ m = ∂ ∂ m A v 3 + ∂ ∂ m B ⋅ m g 2 v x 2

A derivada do primeiro termo é zero pois trata-se de uma constante. Já no segundo termo vamos colocar as constantes para fora da derivada:

∂ P ∂ m = 0 + B ⋅ g 2 v x 2 ∂ ∂ m m 2

Aplicando a regra da potência, obtemos:

∂ P ∂ m = 2 B m g v x ²

Resposta

∂ P ∂ v = 3 a v 2 - B �� m g 2 v 2 x 2

∂ P ∂ x = - 2 B . m g 2 v x 3

∂ P ∂ m = 2 B m g v x ²

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