107. Seja f contínua em [a,b] e ∫ a b f t ≠ 0 . Mostre que para qualquer k em (0,1) haverá um número c em (a,b) tal que ∫ a c f t d t = k   ∫ a b f t d t . ( Sugestão : considere a função F para a qual F x = ∫ a x f t d t / ∫ a b f t d t , e aplique o teorema do valor intermediário)

Passo 1

Nesta questão basta utilizar a sugestão dada no enunciado , bem como as informações dos intervalos para mostrarmos o que ele pede.

Passo 2

Utilizando a sugestão do enunciado, temos que :

F x = ∫ a x f t d t / ∫ a b f t d t

Então, F(a) = 0 e F(b) = 1. Porque f é contínua no intervalo [a,b] , segue-se Do primeiro teorema fundamental do calculo, que diz que se F é difenrenciavel em [a,b] e portanto f é contínua em [a,b].

Passo 3

Pelo teorema do valor intermediário , podemos afirmar que para qualquer número k em (0,1) existe um número c em (a,b) tal que F(c) = k. Logo, podemos escrever:

k = ∫ a c f t d t / ∫ a b f t d t      

∫ a c f t d t = k   ∫ a b f t d t

Resposta

Demonstração.

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