Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.6 - Ex. 11

11. Neste problema, vamos mostrar que a função de Liapunov construída no problema precedente também é uma função de Liapunov para o sistema localmente linear ( i ) . Precisamos mostrar que existe alguma região contendo a origem na qual V ˙ é negativa definida.

(a) Mostre que

V ˙ x ,   y = - x 2 + y 2 + 2 A x + B y F 1 x ,   y + B x + 2 C y G 1 x ,   y

(b) Lembre que F 1 ( x ,   y ) / r   →   0 e G 1 ( x ,   y )   / r   →   0 quando r = x 2 + y 2 1 / 2 → 0 . Isso significa que, dado qualquer ∊   >   0 , existe um círculo r   =   R em torno da origem tal que, se 0 < r < R , então   | F 1 ( x ,   y ) |   <   ∊ r e | G 1 ( x ,   y ) |   <   ∊ r . Escolhendo M   como o máximo entre | 2 A | ,   | B |   e   | 2 C | , mostre, usando coordenadas polares, que R pode ser escolhido de modo que ( x ,   y )   <   0 para   r   <   R .

Sugestão: Escolha ∊   suficientemente pequeno em função de M .

Passo 1

L e t r a   A :

No item b da questão anterior, vimos que para o sistema i i :

d x / d t = a 11 x + a 12 y               e               d y / d t = a 21 x + a 22 y

Onde

F x ,   y = a 11 x + a 12 y

G x ,   y = a 21 x + a 22 y

Definimos A , B e C de modo que:

V ˙ x ,   y = - x 2 + y 2

Onde:

V x ,   y =   A x 2 + B x y + C y 2

Aqui, estamos trabalhando com o sistema i , onde:

F x ,   y = a 11 x + a 12 y + F 1 x ,   y

G x ,   y = a 21 x + a 22 y + G 1 x ,   y

Para encontrar V ˙ x ,   y , podemos usar a fórmula:

V ˙ x ,   y = V x x ,   y F x ,   y + V y x ,   y G x ,   y

No nosso caso então...

V ˙ x ,   y = 2 A x + B y a 11 x + a 12 y + F 1 x ,   y + B x + 2 C y a 21 x + a 22 y + F 2 x ,   y     →

Como o problema é exatamente o anterior (10b), mas com F 1 e G 1 incluídos, de fato é válida a relação:

V ˙ x ,   y = - x 2 + y 2 + 2 A x + B y F 1 x ,   y + B x + 2 C y G 1 x ,   y

Onde a parte em negrito é referente a conclusão da questão 10 !

Passo 2

L e t r a   B :

Bem, seguindo a nossa dica, se escolhermos ∈ como um número muito pequenho em função de M :

∈   = 1 n M

Onde, n = 1 ,   2 ,   3 … Então, como...

F 1 x ,   y <   ∊ r     →

| F 1 ( x ,   y ) |   <   1 n M r

E

G 1 ( x ,   y ) |   <   ∊ r   →

G 1 ( x ,   y ) |   < 1 n M r

Vai então existir um n para um r < R escolhido, tal que...

V ˙ x ,   y = - x 2 + y 2 + 2 A x + B y F 1 x ,   y + B x + 2 C y G 1 x ,   y     →

As contribuições de 2 A x + B y e de B x + 2 C y se tornem basicamente nulas comparadas a V ˙ x ,   y = - x 2 + y 2 .

Em outras palavras, bem para algum n muito grande ou pra um R muito pequeno, é válida a relação...

V ˙ x ,   y = - x 2 + y 2

O que prova que V ˙ x ,   y < 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

As populações médias de presas e de predadores são definidas porrespectivamente, em que T é o período de um ciclo completo e A é uma constante não negativa arbitrária. Usando a aproximação (24), válid
Determine a razão entre as amplitudes presa-predador para outras soluções do sistema (2), ou seja, para soluções satisfazendo outras condições iniciais. A razão é independente das condições iniciais?
Considere o sistemaem que a e b são constantes positivas. Observe que esse sistema é o mesmo que o sistema do exemplo no texto quando a = 1 e b = 0,75. Suponha que as condições iniciais são x(0) = 5 e
As populações médias de presas e de predadores são definidas porrespectivamente, em que T é o período de um ciclo completo e A é uma constante não negativa arbitrária. Para a solução do sistema não li
Calcule outras soluções do sistema (2) — ou seja, soluções satisfazendo outras condições iniciais — e determine seus períodos. O período é o mesmo para todas as condições iniciais?