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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 13

13-30 Calcule a integral usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

13 ∫ - 2 1 x 2 - 6 x + 12 d x

Passo 1

Antes de começarmos a fazer a questão, falarei a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ele é assim:

Se f for contínua em [ a , b ] e F for uma antiderivada de f em [ a , b ] , então:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Passo 2

Então, nossa ideia é acharmos a antiderivada e para isso faremos a integral indefinida abaixo:

∫ x 2 - 6 x + 12 d x = x 3 3 - 6 x 2 2 + 12 x + C = x 3 3 - 3 x 2 + 12 x + C

Nossa antiderivada é:

F x = x 3 3 - 3 x 2 + 12 x

Passo 3

Agora vamos calcular a integral definida:

∫ - 2 1 x 2 - 6 x + 12 d x = F 1 - F ( - 2 )

Lembrando que

F x = x 3 3 - 3 x 2 + 12 x

Vamos calcular

F 1 = 1 3 3 - 3 1 2 + 12 1 = 1 3 - 3 + 12 = 1 3 + 9 = 1 + 27 3 = 28 3

F - 2 = - 2 3 3 - 3 - 2 2 + 12 - 2 = - 8 3 - 12 - 24 = - 8 3 - 36 = - 8 - 108 3 = - 116 3

Voltando para a integral definida:

∫ - 2 1 x 2 - 6 x + 12 d x = 28 3 - - 116 3 = 28 3 + 116 3 = 144 3 = 48

Resposta

∫ - 2 1 x 2 - 6 x + 12 d x = 48

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Expresse o limite com uma integral definida . Depois, calcule a integral para determinar o valor do limite. P é uma partição do intervalo dado e os números c k são escolhidos dentro dos subintervalos
Se ∫ 0 2 f ( x )d x = π , ∫ 0 2 7 g ( x )d x = 7 , ∫ 0 1 g ( x )d x = 2 , determine ∫ 0 2 g ( x )d x
Se ∫ - 2 2 3 f ( x )d x = 12 , ∫ - 2 5 f ( x )d x = 6 , ∫ - 2 5 g ( x )d x = 2 , determine ∫ - 2 2 f ( x )d x
Se ∫ - 2 2 3 f ( x )d x = 12 , ∫ - 2 5 f ( x )d x = 6 , ∫ - 2 5 g ( x )d x = 2 , determine ∫ 5 - 2 g ( x )d x
Se ∫ 0 2 f ( x )d x = π , ∫ 0 2 7 g ( x )d x = 7 , ∫ 0 1 g ( x )d x = 2 , determine ∫ 0 2 g ( x )d x