Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 38

No Exercício ∫ 0 π 3 s e n 2 x   . cos ⁡ x   d x   , deduza uma primitiva do integrando. Verifique sua hipótese com derivação e, depois, calcule a integral definida dada. (Dica: tenha em mente a regra da cadeia ao deduzir uma primitiva. Você aprenderá como determinar primitivas desse tipo na próxima seção.)

Passo 1

O enuciado pede que a gente encontre a primitiva do integrando (que é o mesmo que o resultado da integral) por meio da dedução. Desse modo, precisamos pensar em uma espressão que derivada vai dar o valor do integrando. Após isso nós vamos derivar para poder confirmar se nossa dedução é real. Por último calculamos a integral definida.

Passo 2

Primeiro deduzimos uma possível primitiva:

∫ 0 π 3 s e n 2 x   . cos ⁡ x   d x   → s e n 3 x 3

Depois para confirmar derivamos a expressão encontrada, nesse caso usaremos a regra da cadeia:

Sendo u   =   s e n   x

d d x s e n 3 x 3 = d d x u 3 3   .     d d x s e n   x    

= 3 . u 2 3   .   cos ⁡ x  

=   u 2   . cos ⁡ x

=   s e n 2 x   . cos ⁡ x

Passo 3

O resultado acima confirma que nossa dedução esta correta . Então agora basta resolver a integral definida.

∫ 0 π 3 s e n 2 x   . cos ⁡ x   d x   = s e n 3 x 3 0 π 3

= s e n 3 π 3 3 - s e n 3 0 3

= 3 2 3 3 - 0

= 3 3 8 . 1 3

= 3 8

Resposta

∫ 0 π 3 s e n 2 x   . cos ⁡ x   d x   = 3 8

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.6. int_(- 2)^2 ( x^3 - 2 x + 3 ) d x
Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.5. int_0^4 (3 x - (x^3)/(4)) d x
Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.15. int_0^((pi)/(4)) t g ² x d x ²
Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.8. int_1^(32) x^(- (6)/(5)) d x
Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.14. int_(- (pi)/(3))^((pi)/(3)) (1 - cos 2 t)/(2) d t