Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 12
11-16. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização da função naquele ponto.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:
Primeiramente queremos mostrar que essa função é diferenciável no ponto .
Para isso, basta derivarmos a equação e substituir pelos pontos dados. Se elas existirem, então a função é diferenciável no ponto!!
Em seguida queremos encontrar a linearização . nesse mesmo ponto.
Para isso, temos que lembrar que a linearização é dada por:
Agora bora lá!!! 😉
Passo 2
Então pessoal, para uma função ser diferenciável em um ponto dado, as derivadas parciais e devem existir perto do ponto e forem contínuas em .
Sendo assim, teremos que encontrar as derivadas parciais da função no ponto dado e ver se são contínuas.
Fazendo a derivada , deixando constante, temos:
Aplicando o ponto , obtemos:
Agora vamos descobrir a derivada fazendo uma constante:
Aplicando o ponto , obtemos:
Sendo assim, podemos concluir que e são contínuas desde que , uma vez que o denominador não pode ser zero. Portanto, fica provado que é diferenciável no ponto dado.
Passo 3
A linearização da função no ponto dado é cedido pela seguinte fórmula, galera:
No ponto que nos foi dado, vale:
Sendo assim, nossa linearização será: