11-16. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L(x, y) da função naquele ponto.

f(x, y) = raiz(xy), (1, 4)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

.   f x ,   y = x y

Primeiramente queremos mostrar que essa função é diferenciável no ponto x 0 , y 0 = 1,4 .

Para isso, basta derivarmos a equação e substituir pelos pontos dados. Se elas existirem, então a função é diferenciável no ponto!!

Em seguida queremos encontrar a linearização . f x ,   y = x y nesse mesmo ponto.

Para isso, temos que lembrar que a linearização é dada por:

L ( x , y ) = z 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Agora bora lá!!! 😉

Passo 2

Então pessoal, para uma função f ( x ,   y ) ser diferenciável em um ponto dado, as derivadas parciais f x e f y devem existir perto do ponto ( a ,   b ) e forem contínuas em ( a ,   b ) .

Sendo assim, teremos que encontrar as derivadas parciais da função f no ponto dado e ver se são contínuas.

Fazendo a derivada f x , deixando y constante, temos:

f x = 1 2 x y - 1 2 ⋅ y ∴

f x = y 2 x y

Aplicando o ponto 1,4 , obtemos:

f x 1 ,   4 = 4 2 1 ⋅ 4 ∴

f x 1 ,   4 = 1

Agora vamos descobrir a derivada f y fazendo x uma constante:

f y = 1 2 x y - 1 2 ⋅ x ∴

f y = x 2 x y

Aplicando o ponto 1,4 , obtemos:

f y 1 ,   4 = 1 2 1 ⋅ 4 ∴

f y 1 ,   4 = 1 4

Sendo assim, podemos concluir que f x e f y são contínuas desde que x y > 0 , uma vez que o denominador não pode ser zero. Portanto, fica provado que f é diferenciável no ponto dado.

Passo 3

A linearização L ( x ,   y ) da função no ponto dado é cedido pela seguinte fórmula, galera:

L ( x , y ) = z 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

No ponto que nos foi dado, f ( x 0 , y 0 ) vale:

f 1 ,   4 = 1 ⋅ 4 ∴

f 1 ,   4 = 2

Sendo assim, nossa linearização será:

L x ,   y = 2 + 1 x - 1 + 1 4 y - 4 ∴

L x ,   y = 2 + x - 1 + 1 4 y - 1 ∴

L x ,   y = x + 1 4 y

Resposta

L x ,   y = x + 1 4 y

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