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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 54

Calcule a integral trocando a ordem de integração.

∫ 0 2   ∫ y 2 1 y cos ⁡ x 3 - 1 d x d y

Passo 1

E aí, galerinha! Como vocês estão?

A questão quer o cálculo de:

∫ 0 2   ∫ y 2 1 y cos ⁡ x 3 - 1 d x d y

Porém, com outra ordem de integração.

Aqui no nosso caso vamos ter que manipular nossos limites de integração da região de integração de forma que a integral de d y fique “pra dentro”.

Então, vamos precisar do gráfico da região D para fazer essa modificação.

Vamos ver como fica esse processo!

Passo 2

Olhando a integral dada no enunciado:

∫ 0 2   ∫ y 2 1 y cos ⁡ x 3 - 1 d x d y

Vemos que para x o intervalo é:

y 2 ≤ x ≤ 1

E para y :

0 ≤ y ≤ 2

Agora é plotarmos essas funções para entender qual é nossa região D .

Invertendo a ordem de integração, vamos achar uma forma de expressar o intervalo de x entre duas constantes e o de y entre duas funções.

Assim temos que x vai de 0 até 1, enquanto y vai do eixo x ( y = 0 ) até a reta y = 2 x . Assim:

∫ 0 2   ∫ y 2 1 y cos ⁡ x 3 - 1 d x d y = ∫ 0 1   ∫ 0 2 x y cos ⁡ x 3 - 1 d y d x

Agora como temos funções de x no intervalo de d y , a gente coloca essa integral “pra dentro”.

Passo 3

Resolvendo a integral de dentro, temos:

∫ 0 2 x y cos ⁡ x 3 - 1 d y = y 2 2 cos ⁡ x 3 - 1 0 2 x

∫ 0 2 x y cos ⁡ x 3 - 1 d y = 2 x 2 cos ⁡ x 3 - 1

Portanto:

∫ 0 1   ∫ 0 2 x y cos ⁡ x 3 - 1 d y d x = ∫ 0 1   2 x 2 cos ⁡ x 3 - 1 d x

Vamos aplicar a integração por substituição:

Seja:

u = x 3 - 1  

d u = 3 x 2 d x

x 2 d x = d u 3

Analisando os limites, temos:

x = 0 → u = - 1

x = 1 → u = 0

Substituindo, temos:

∫ 0 1   2 x 2 cos ⁡ x 3 - 1 d x = 2 ∫ - 1 0   cos ⁡ u d u 3

2 ∫ 1 2   cos ⁡ u d u 3 = 2 3 s e n   u - 1 0

2 ∫ 1 2   cos ⁡ u d u 3 = 2 3 s e n   0 - s e n ( - 1 )

2 ∫ 1 2   cos ⁡ u d u 3 = 2 3 s e n   1

A nossa resposta será:

∫ 0 1   ∫ 0 2 x y cos ⁡ x 3 - 1 d y d x = 2 3 s e n   1

Resposta

∫ 0 1   ∫ 0 2 x y cos ⁡ x 3 - 1 d y d x = 2 3 s e n   1

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