Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 21
Determine a aproximação linear da função em e use-a para aproximar o número .
Passo 1
Show de bola, galera. Aqui nessa questão nós temos a função
e a questão pede para determinarmos a aproximação linear dela no ponto .
Depois disso, vamos usar essa aproximação para aproximar o número
Veja que podemos pensar nesse número como sendo o valor de no ponto , basta comparar ele com a definição da função
Então nós vamos fazer o seguinte: primeiro vamos lembrar a expressão para a aproximação linear de uma função, Depois, usamos essa aproximação para obter
Tranquilo? Vem comigo!
A aproximação linear de uma função no ponto dada por
Não se assuste com o tamanho da expressão, não tem nada de diferente para o que fizemos no caso de duas variáveis, só estamos incluindo mais uma derivada.
Passo 2
Vamos às contas...
Basicamente precisamos avaliar primeiro as derivadas parciais , e no ponto .
Para derivar a função
Devemos notar que existe uma função dentro da raíz quadrada, ou seja, vamos precisar da regra da cadeia:
Efetuando a derivada em , obtemos
Agora substituímos o ponto :
Note que as outras derivadas também terão resultado semelhante ao de , visto que estaremos derivando a raiz quadrada da soma de termos ao quadrado.
Obteremos
Logo,
Da mesma forma,
e
Passo 3
Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse.
Para calcularmos a linearização ao redor do ponto , basta usar a expressão de que vimos no Passo 2 e substituir os valores que calculamos:
Essa é a aproximação linear da função no ponto .
Passo 4
Para o nosso caso, queremos calcular . Então basta substituir essas coordenadas na equação que acabamos de obter.