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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 14

11-17. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v .

14. g u ,   v = u 2 e - v ,   3 ,   0 ,   v = 3 i + 4 j

Passo 1

Então galera, nessa questão nós temos a função g u , v = u 2 e - v e queremos determinar a derivada dela na direção do vetor v = 3 i + 4 j no ponto 3,0 .

Para determinarmos a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v , segundo o Stewart na seção 14.6 precisamos fazer:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

que é o gradiente de f . Em seguida fazemos o produto escalar do gradiente com o vetor u :

D u f = ∇ f ⋅ u

onde u é o vetor unitário na direção de v . No nosso caso as variáveis são um pouco diferentes, mas o raciocínio é literalmente o mesmo, tudo bem? No nosso caso, temos:

∇ g = ∂ g ∂ u i + ∂ g ∂ v j

Portanto, vamos calcular primeiro o gradiente da função g e depois o vetor unitário u .   Com isso, determinaremos a derivada direcional da função no ponto 3,0 .

Passo 2

Descobrindo nosso gradiente:

Derivando a função g u , v = u 2 e - v   com relação a u , obtemos:

∂ g ∂ u = ∂ ∂ u u 2 e - v

∂ g ∂ u = 2 u ⋅ e - v

Agora a derivando com relação a v :

∂ g ∂ v = ∂ ∂ v u 2 e - v

∂ g ∂ v = -   u 2 ⋅ e - v

Portanto,

∇ g = 2 u e - v   i - u 2 e - v   j

No ponto 3,0 ,   temos:

∇ g 3 ,   0 = 2.3 e 0 i - 3 2 e 0 j = 6 i - 9 j

Passo 3

O vetor unitário u na direção de v é basicamente o vetor v dividido pelo seu módulo, isto é,

u = v v = 3 i + 4 j 3 2 + 4 2 = 1 5 3 i + 4 j

Passo 4

Sendo assim, nossa derivada direcional no ponto ( 3,0 ) será:

D u g 3 ,   0 = ∇ g 3 ,   0 . u

D u g 3 ,   0 = 6 i - 9 j ⋅ 1 5 3 i + 4 j = 1 5 ( 18 - 36 )

∴ D u g 3 ,   0 = - 18 5

Resposta

D u g 3 ,   0 = - 18 5

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