Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 14
11-17. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
14.
Passo 1
Então galera, nessa questão nós temos a função e queremos determinar a derivada dela na direção do vetor no ponto
Para determinarmos a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor , segundo o Stewart na seção 14.6 precisamos fazer:
que é o gradiente de . Em seguida fazemos o produto escalar do gradiente com o vetor :
onde é o vetor unitário na direção de . No nosso caso as variáveis são um pouco diferentes, mas o raciocínio é literalmente o mesmo, tudo bem? No nosso caso, temos:
Portanto, vamos calcular primeiro o gradiente da função e depois o vetor unitário Com isso, determinaremos a derivada direcional da função no ponto
Passo 2
Descobrindo nosso gradiente:
Derivando a função com relação a , obtemos:
Agora a derivando com relação a :
Portanto,
No ponto temos:
Passo 3
O vetor unitário na direção de é basicamente o vetor dividido pelo seu módulo, isto é,
Passo 4
Sendo assim, nossa derivada direcional no ponto será: