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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 1a

Calcular, usando a definição, a derivada direcional do campo escalar f ( x ,   y ) no ponto indicado e na direção v → = i → + j → .

  1. f x ,   y = 2 x 2 + 2 y 2 em P 1 ,   1 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é achar o vetor unitário de v → , que nós vamos chamar de b → .

Se lembram como calcular o vetor unitário??

Bem fácil, não é?!

b → = v → v →

Pelo problema nós sabemos que:

v → = ( 1 ,   1 )

E | v → | é dado por:

v → = 1 2 + 1 2 = 2

Substituindo:

b → = ( 1 ,   1 ) 2 = 1 2 , 1 2

Passo 2

Agora nós vamos desenhar um triângulo retângulo em que P M - = 1 ,   P N - = 1 2   e   M N - = 1 2 :

Como o triângulo ∆ M N P é semelhante ao ∆ Q R P :

P Q - = s

P R - = s 2  

  Q R - = s 2

Então, as coordenadas do ponto Q será o ponto P mais as medidas que acabamos de achar, não é?

Sendo assim, as coordenadas de Q serão 1 + s 2 ,   1 + s 2 .

Passo 3

Agora nós vamos aplicar a definição 6.3.1:

∂ f ∂ s P = lim s → 0 ⁡ f Q - f ( P ) s

Substituindo nossas coordenadas:

= lim s → 0 ⁡ f 1 + s 2 ,   1 + s 2 - f ( 1,1 ) s

Sabendo que a função é f x ,   y = 2 x 2 + 2 y 2 :

f 1 + s 2 ,   1 + s 2 = 2 1 + s 2 2 + 2 1 + s 2 2 = 4 1 + s 2 2

f 1 + s 2 ,   1 + s 2 = 4 1 + 2 s 2 + s 2 2

E:

f 1,1 = 2.1 2 + 2.1 2 = 4

Agora nós substituímos:

= lim s → 0 ⁡ 4 1 + 2 s 2 + s 2 2 - 4 s

= lim s → 0 ⁡ 4 + 8 s 2 + 2 s 2 - 4 s

= lim s → 0 ⁡ 8 s 2 + 2 s 2 s

= lim s → 0 ⁡ 8 2 + 2 s

Resolvendo o limite:

∂ f ∂ s P = 8 2

Racionalizando:

∂ f ∂ s P = 4 2

Finalizamos galeraa!

Agora faremos igualzinho na letra (b).

Resposta

∂ f ∂ s P = 4 2

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