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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 16

Trace a curva e calcule a área delimitada por ela.

r = 1 + 5   s e n   6 θ

Passo 1

O gráfico de r = 1 + 5   s e n   6 θ é:

Quando calculamos a integral de uma curva, o resultado da integral fornce extamente a área da curva. Mas a curva deste problema é dada em coordenadas polares.

Vamos então integrar a fórmula para a área de uma região cuja fronteira é dada por uma equação polar.

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

Passo 2

Os limites de integração podemos encontrar a partir do gráfico. A linha que forma a fronteira do gráfico começa em ( 0 ,   0 ) e da uma volta inteira, ou seja, percorreu um ângulo θ = 2 π   r a d .

Passo 3

Aplicando os limites de integração   0 ≤ θ ≤ 2 π e substituindo r = 1 + 5   s e n   6 θ , obtemos:

A = ∫ 0 2 π 1 2 ( 1 + 5   s e n   6 θ ) ² d θ = 1 2 ∫ 0 2 π ( 1 + 10   s e n   6 θ + 25   s e n ² 6 θ )   d θ  

Podemos usar a propriedade trigonométrica: s e n 2 θ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π [ 1 + 10   s e n   6 θ + 25 2 1 - cos ⁡ 1 2 θ ]   d θ = 1 2 ∫ 0 2 π 27 2 + 10   s e n   6 θ - 25 2 cos ⁡ 1 2 θ   d θ

A = 1 2 ∙ 27 2 θ - 5 3   c o s   6 θ - 25 24 s e n   1 2 θ 0 2 π = 1 2 ∙ 27 π - 5 3 - 0 - 0 - 5 3 - 0 = 27 2 π

Resposta

A = 27 2 π

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Esboce a curva e calcule a área limitada por ela r = 3 ( 1 + cos ⁡ θ )
Esboce a curva e calcule a área limitada por ela r = 2 - sen ⁡ 2 θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 1 - s en ⁡ θ r = 1
Calcule a área limitada pelo laço do estrofoide r = 2 cos ⁡ θ - sec ⁡ θ
Esboce a curva e calcule a área limitada por ela r = 2 + cos ⁡ 2 θ