Exercícios de Derivadas Direcionais - Lista de Exercícios Resolvida

Encontre a derivada direcional de no ponto na direção do vetor .

6. Nenhuma das demais alternativas

Seja uma função diferenciável no ponto . Ele possui a seguinte derivada parcial em relação a

Sabendo que a derivada direcional dessa função na direção é

E além disso a derivada direcional desta mesma função na direção é

Determine o valor do vetor gradiente da função no ponto .

Determine a taxa de variação de no ponto na direção do vetor .

A temperatura de uma chapa plana é dada por , com e em e em Calcule de quanto ela varia aproximadamente, se caminharmos a partir do ponto na direção do vetor que faz um ângulo com o semi-eixo positivo, se:

Sejam

E

1. Calcule a derivada direcional em pela definição em
2. Calcule a derivada direcional em pela fórmula do produto escalar em
3. Justifique porque os valores encontrados são diferentes.

Em que direção a derivada de em é zero?

Se , use as propriedades da derivada de funções escalares e vetoriais para mostrar que

Encontre a derivada direcional de no ponto na direção do vetor .

6. Nenhuma das demais alternativas

Seja uma função diferenciável no ponto e considere os vetores e .

1. Sabendo-se que

calcule e

2. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto , onde .
3. Considere uma curva no plano parametrizada por

Onde é uma função diferenciável tal que . Sabendo-se que em é , calcule .

Seja uma função diferenciável no ponto tal que

E

Quanto vale

5. Nenhuma das outras alternativas

Encontre a derivada direcional de

no ponto na direção do vetor .

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Sejam e . Sabendo que é uma função diferenciável tal que

podemos afirmar que:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Seja uma função diferenciável no ponto . Sabendo que a derivada direcional de no ponto , segundo a direção do vetor , é , e que , quanto vale ?

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) a informação é insuficiente

Dentre as funções abaixo, existe uma função tal que existe para todo vetor unitário e não é contínua em .

1. Prove que a função escolhida não é contínua em
2. Seja um vetor unitário. Calcule para a função escolhida.

Mostre que é continua em e em todas as derivadas direcionais em . A função f é diferenciavel em ?

Considere a função:

Em que é um número real.

1. Determine as derivadas parciais de primeira ordem de em .
2. É possível escolher de modo que seja contínua em ? No caso afirmativo, qual deve ser o valor de ?
3. Mostre que , com , não possui derivada direcional em na direção de um vetor , com e .
4. é diferenciável em quando ? Justifique!

Sejam a função

E um ponto em .

Determine os pontos que satisfazem as duas condições abaixo:

1. e paralelo à reta tangente a curva no ponto
2. , onde é o versor do vetor

A função é diferenciável em todo o . Sabemos que . Onde é o vetor Também conhecemos e . O valor de é:

Questão para preenchimento numérico. Utilize aproximações corretas até a terceira casa decimal e o separador decimal pode ser “.” Ou “,”.

Seja uma função diferenciável em tal que . Sabe-se também que e , onde e A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto é _____.

O valor máximo que uma derivada direcional de no ponto assume é ____.

Considere a função no ponto encontre:

1. A derivada direcional na direção de
2. A taxa de variação máxima nesse ponto e a direção em que ela ocorre.

Determine a derivada direcional da função no ponto , na direção do ponto .

b)

Determine a derivada direcional da função no ponto , na direção do ponto .

c)

Seja uma função de classe tal que:

(i) A imagem da curva dada por está contida em uma curva de nível de .

(ii) A imagem da curva dada por está contida no gráfico de .

1. Determine justificando claramente o que está usando.
2. Calcule , onde .
3. Qual é a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto ?

Seja

b) Calcule .

Em cada item calcule a derivada direcional de na direção de e no ponto :

a) , ,

Em cada item calcule a derivada direcional de na direção de e no ponto :

c) , ,

Em cada item calcule a derivada direcional de na direção de e no ponto :

b) , ,

Seja

a) Seja vetor unitário. Calcule para .

13 - A equação

onde é uma constante positiva, é chamada equação de onda. Sejam e funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.

b) Mostre que uma função da forma satisfaz a equação da onda.

15 - Se e são funções das variáveis e de classe , e satisfazem as equações de CauchyRiemann

,

mostre que e são harmônicas.

3 - Determine a derivada direcional de em na direção do vetor :

a) , , ;

5 - Determine a derivada direcional máxima de em e a direção em que isto ocorre:

b) , .

5. Considere um vetor unitário e calcule

Uma função de classe tem, no ponto , derivada direcional igual a na direção do vetor e igual a na direção do vetor . Calcule:

2. , onde tem a direção do vetor

Prove pela definição que

1. Sendo , calcule a derivada direcional no ponto na direção do vetor

6. Considere um vetor unitário e calcule

Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

1. Se uma função possui derivadas parciais contínuas, então ela é diferenciável.
2. Uma função diferenciável em pode não ter plano tangente em
3. Toda função continua em um ponto é diferenciável em .
4. A função tem derivadas direcionais em todas as direções no ponto .
5. Para provar que uma função é continua em , basta provar que existe sobre todas as retas que passam por
6. Nenhuma das demais alternativas é verdadeira.

Considere a função .

Identifique as afirmações verdadeiras (V) e as falsas (F):

( ) A derivada da função em na direção do vetor é nula.

( ) A função aumenta mais rapidamente na direção do vetor .

( ) Existe uma direção na qual a taxa de variação da função é .

( ) A taxa da variação da função é .

( ) A reta tangente à curva no ponto é .

1. (1) V (2) V (3) V (4) V (5) F
2. (1) F (2) V (3) V (4) V (5) F
3. (1) V (2) V (3) F (4) V (5) V
4. (1) V (2) V (3) F (4) V (5) F
5. (1) V (2) V (3) V (4) F (5) F

Seja uma função diferenciável no ponto . Sabe-se que as derivadas direcionais de no ponto segundo as direções dos vetores e são, respectivamente, e . Quanto valem e , respectivamente?

1. 2 e -2
2. 1 e -3
3. e
4. e
5. e

Considere a seguinte função:

1. Calcule a derivada direcional de no ponto na direção de a .
2. Determine o(s) valor(es) de de modo que se então .

Seja dada por

(a) Determine, caso existam, e .

(b) A função é diferenciável em ?

(c) Determine, caso exista, a derivada direcional para

Determine a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor .

Seja uma função diferenciável. Suponha que a curva seja uma parametrização da curva de nível . Suponha que o plano tangente ao gráfico de no ponto contenha o ponto . Considere os vetores unitários e . Então é igual a:

Seja uma função e seja um ponto. Considere as seguintes afirmações:

1. Se e existem, então é contínua em .
2. Se é diferenciável em , então e existem.
3. Se e existem em e são contínuas em , então é diferenciável em .
4. Se existe para todo versor , então é difrenciável em .