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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 1b

Calcular, usando a definição, a derivada direcional do campo escalar f ( x ,   y ) no ponto indicado e na direção v → = i → + j → .

b) f x ,   y = 2 x + y em P - 1 ,   2 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é achar o vetor unitário de v → , que nós vamos chamar de b → .

Se lembram como calcular o vetor unitário??

Bem fácil, não é?!

b → = v → v →

Pelo problema nós sabemos que:

v → = ( 1 ,   1 )

E | v → | é dado por:

v → = 1 2 + 1 2 = 2

Substituindo:

b → = ( 1 ,   1 ) 2 = 1 2 , 1 2

Passo 2

Agora nós vamos desenhar um triângulo retângulo em que P M - = 1 ,   P N - = 1 2   e   M N - = 1 2 :

Como o triângulo ∆ M N P é semelhante ao ∆ Q R P :

P Q - = s

P R - = s 2  

  Q R - = s 2

Então, as coordenadas do ponto Q na direção x será o comprimento que acabamos de achar ( P R - ) menos a coordenada do ponto P. E agora na direção y será o comprimento ( Q R - ) mais a coordenada do ponto P.

Sendo assim, as coordenadas de Q serão s 2 - 1 ,   s 2 + 2 .

Passo 3

Agora nós vamos aplicar a definição 6.3.1:

∂ f ∂ s P = lim s → 0 ⁡ f Q - f ( P ) s

Substituindo nossas coordenadas:

= lim s → 0 ⁡ f s 2 - 1 ,   s 2 + 2 - f ( - 1,2 ) s

Se a função é dada por f x ,   y = 2 x + y :

f s 2 - 1 ,   s 2 + 2 = 2 s 2 - 1 + s 2 + 2 = 2 s 2 - 2 + s 2 + 2

f s 2 - 1 ,   s 2 + 2 = 3 s 2

E:

f - 1 ,   2 = 2 ( - 1 ) + 2 = 0

Agora nós substituímos:

= lim s → 0 ⁡ 3 s 2 - 0 s

= lim s → 0 ⁡ 3 2

Resolvendo o limite:

∂ f ∂ s P = 3 2

Racionalizando:

∂ f ∂ s P = 3 2 2

Finalizamos galeraa!

Agora faremos igualzinho na letra (c).

Resposta

∂ f ∂ s P = 3 2 2

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Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v. g p , q = p 4 - p 2 q 3,2,1,v = i + 3 j
Use a figura para estimar D u f 2,2 .
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v. f x , y , z = x e y + y e z + z e t ; 0,0 , 0 v = 5,1 , - 2
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v . g x , y , z = x + 2 y + 3 z 3 / 2 1,1 , 2 v = 2 j - k