Calcular, usando a definição, a derivada direcional do campo escalar f(x, y) no ponto indicado e na direção v = i + j .

c) f(x, y) = e^(x + y) em P(0, 1)

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é achar o vetor unitário de v → , que nós vamos chamar de b → .

Se lembram como calcular o vetor unitário??

Bem fácil, não é?!

b → = v → v →

Pelo problema nós sabemos que:

v → = ( 1 , 1 )

E | v → | é dado por:

v → = 1 2 + 1 2 = 2

Substituindo:

b → = ( 1 ,   1 ) 2 = 1 2 , 1 2

Passo 2

Agora nós vamos desenhar um triângulo retângulo em que P M - = 1 ,   P N - = 1 2   e   M N - = 1 2 :

Como o triângulo ∆ M N P é semelhante ao ∆ Q R P :

P Q - = s

P R - = s 2  

  Q R - = s 2

Então, as coordenadas do ponto Q na direção x e y serão o comprimento que achamos mais a coordenada do ponto P.

Sendo assim, as coordenadas de Q serão s 2 ,   s 2 + 1 .

Passo 3

Agora nós vamos aplicar a definição 6.3.1:

∂ f ∂ s P = lim s → 0 ⁡ f Q - f ( P ) s

Substituindo nossas coordenadas:

= lim s → 0 ⁡ f s 2 ,   s 2 + 1 - f ( 0,1 ) s

Se a função é dada por f x ,   y = e x + y :

f s 2 ,   s 2 + 1 = e s 2 , + s 2 + 1 = e 2 s 2 , + 1

E:

f 0 ,   1 = e 0 + 1 = e

Agora nós substituímos:

= lim s → 0 ⁡ e 2 s 2 , + 1 - e s

Quando substituímos s pelo zero temos uma indeterminação do tipo 0 0 .

Se isso acontece o que nós fazemos? Usamos a Regra do L’Hopital derivando a função de cima e de baixo:

= lim s → 0 ⁡ 2 2 e 2 s 2 , + 1 1

Não temos mais a indeterminação, certo? Então agora é só substituir o s pelo zero:

= 2 2 e

Agora é só racionalizar:

∂ f ∂ s P = e 2

Finalizamos galeraa!

Resposta

∂ f ∂ s P = e 2

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